Gọi giao điểm của AH và BC là K. Vì H là trực tâm tam giác ABC => AH vuông góc BC hay AK vuông góc BC
Xét tam giác HKB và tam giác CDB có :
góc HKB = góc CDB = 90 độ
góc DBC chung
=> tam giác HKB ~ tam giác CDB (g.g)
=> HB/CB = KB/DB => BH.BD = BC.BK
Xét tam giác BEC và tam giác HKC có :
góc BEC = góc HKC = 90 độ
góc BCE chung
=> tam giác BEC ~ tam giác HKC (g.g)
=> BC/HC = EC/KC
=> BC.CK = CH.CE
=> CH.CE + BH.BD = BC.CK + BC.BK
=> BH.BD + CH.CE = BC(CK + BK) = BC.BC = BC^2

Hướng CM :

CM CE.CH

CM BD.BH

CM:

Gọi giao điểm của AH và BC là K.

Vì H là trực tâm tam giác ABC

=> AH ⊥BC 

=>AK⊥ BC
Xét ΔHKB và ΔCDB có :
^ HKB = ^CDB (= 90o)
^ DBC chung
=> Δ HKB ~ ΔCDB (g.g)
=> HB/CB = KB/DB => BH.BD = BC.BK
Xét Δ BEC vàΔ HKC có :
 ^BEC = ^ HKC (= 90o)
^ BCE chung
=> ΔBEC ~ Δ HKC (g.g)
=> BC/HC = EC/KC
=> BC.CK = CH.CE
=> CH.CE + BH.BD = BC.CK + BC.BK
=> BH.BD + CH.CE = BC(CK + BK)

                                = BC.BC

                                = BC²

Vậy BH.BD + CH.CE = BC²(đpcm)