Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta ADB$ có:

Chung $AB$

$\widehat{BAH}=\widehat{BAD}(=90^o)$

$AH=AD$

$\to\Delta ABH=\Delta ABD( c.g.c)$

$\to BH=BD$

$\to\Delta BHD$ cân tại $B$

b.Ta có $D$ là trung điểm $AC\to AC=2AD=10$

Mà $AC=2AB\to AB=\dfrac12AC=5$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=125\to BC=5\sqrt{5}$

c.Ta có $Hx\perp AH$

$\to \Delta EHD$ vuông tại 4H$

Vì $E\in (D, BC)\to  DE=BC$

Ta có $AH=AD\to A$ là trung điểm $HD\to DH=2AD=AC$

$\to HE^2=DE^2-DH^2=BC^2-AC^2=AB^2$

$\to HE=AB$

Lại có $AB=\dfrac12AC=AD\to HE=AD$

d.Ta có $HE\perp HA, HE=HA(=AD)$

$\to \Delta AHE$ vuông cân tại $H\to \widehat{HAE}=45^o, AE=AH\sqrt{2}$

$\to \widehat{EAB}=\widehat{EAH}+\widehat{HAB}=135^o$

Ta có $AB\perp AC, AB=AD\to \Delta ABD$ vuông cân tại $A\to \widehat{ADB}=45^o,BD=AD\sqrt{2}$

Mặt khác $\widehat{BDC}=180^o-\widehat{ADB}=135^o=\widehat{EAB}$

Xét $\Delta ABE,\Delta DCB$ có:

$AE=AH\sqrt{2}=AD\sqrt{2}=BD$

$\widehat{EAB}=\widehat{BDC}$

$AB=\dfrac12AC=CD$

$\to \Delta ABE=\Delta DCB(c.g.c)\to BE=BC$

Mặt khác $\widehat{EBA}=\widehat{DCB}$

$\to \widehat{EBC}=\widehat{EBA}+\widehat{ABC}=\widehat{DCB}+\widehat{ABC}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^o$

$\to BE\perp BC$
Kết hợp $BE=BC$

$\to \Delta BCE$ vuông cân tại $B$