a)

$AB,AC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to\begin{cases}AB\bot OB\\AC\bot OC\end{cases}$

$H$ là trung điểm dây cung $DE$

$\to OH\bot DE$

$\Delta ABO\,\,,\,\,\Delta ACO\,\,,\,\,\Delta AHO$ lần lượt vuông tại $B,C,H$

$\to\begin{cases}A,B,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }\\A,C,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }\\A,H,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }\end{cases}$

$\to A,B,C,H,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }$

b)

$AB=AC$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

$\to \Delta ABC$ cân tại $A$

$\to \widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Vì $A,B,H,O,C$ cùng thuộc một đường tròn

$\to ABHO$ là tứ giác nội tiếp

$\to\begin{cases}\widehat{AHB}=\widehat{ACB}\\\widehat{AHC}=\widehat{ABC}\end{cases}$

Mà: $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\,\,\,\left( cmt \right)$

Nên: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\,\,\,\left( =\widehat{ACB}=\widehat{ABC} \right)$

$\to HA$ là tia phân giác $\widehat{BHC}$

c)

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta AHB$, ta có:

$\widehat{BAH}$ là góc chung

$\widehat{ABC}=\widehat{AHB}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta ABI\backsim\Delta AHB\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AI}{AB}$

$\to A{{B}^{2}}=AI.AH$

d)

Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{ABC}\,\,\,\left( cmt \right)$

Mà: $\widehat{ABC}=\widehat{BKC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

Nên: $\widehat{AHB}=\widehat{BKC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

Vậy $AE\,\,||\,\,CK$