`a)` $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>AB`$\perp OB$

`=>\hat{ABO}=90°`

$\quad AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$

`=>AC`$\perp OC$

`=>\hat{ACO}=90°`

`=>\hat{ABO}+\hat{ACO}=180°`

`=>ABOC` nội tiếp (vì có tổng hai góc đối `180°`)

`=>A;B;O;C` cùng thuộc $1$ đường tròn $(1)$

$\\$

`\qquad H` là trung điểm $DE$ (gt)

`=> OH`$\perp DE$ tại $H$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>\hat{AHO}=90°`

`=>\hat{ABO}=\hat{AHO}=90°`

`=>ABHO` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $B;H$ cùng nhìn cạnh $OA$ dưới góc vuông)

`=>A;B;H;O` cùng thuộc $1$ đường tròn $(2)$

Từ `(1);(2)=>A;B;C;H;O` cùng thuộc $1$ đường tròn 

$\\$

`b)` $A;B;C;H;O$ cùng thuộc $1$ đường tròn 

`=>ABHC` nội tiếp 

`=>\hat{AHC}=\hat{ABC}` (cùng chắn cung $AC$)

`\qquad \hat{AHB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

$\\$

Mà `\hat{ABC}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $BC$ của $(O)$)

`=>\hat{AHC}=\hat{AHB}`

Vì tia $HA$ nằm giữa hai tia $HB;HC$

`=> HA`  là tia phân giác của `\hat{BHC}`

$\\$

`c)` Ta có: `\hat{ABC}=\hat{AHC}=\hat{AHB}` (từ câu b)

`=>\hat{ABI}=\hat{AHB}`

$\\$

Xét $∆ABI$ và $∆AHB$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ABI}=\hat{AHB}` (c/m trên)

`=>∆ABI∽∆AHB` (g-g)

`=>{AB}/{AH}={AI}/{AB}`

`=>AB^2=AI.AH` 

$\\$

`d)` Ta có: `\hat{AHB}=\hat{ACB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}` (đã c/m)

`\hat{BKC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}` (góc nội tiếp chắn cung $BC$)

`=>\hat{AHB}=\hat{BKC}`

Mà `\hat{AHB};\hat{BKC}` ở vị trí đồng vị 

`=>AE`//$CK$