Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta CBA$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to\Delta ABH\sim\Delta CBA(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to AB^2=BH.BC$

b. Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to AH^2=HB.HC$

c.Từ câu a $\to\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{BA}{BH}$

Mà $BD$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{DC}{DA}=\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{EH}{EA}$

d.Xét $\Delta ABD,\Delta HBE$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{EBH}$ vì $BD$ là phân giác $\hat B$

$\widehat{BAD}=\widehat{BHE}$

$\to \Delta ABD\sim\Delta HBE(g.g)$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{BEH}\to \widehat{ADE}=\widehat{ADB}=\widehat{BEH}=\widehat{AED}$

$\to\Delta ADE$ cân tại $A$
Mà $AI\perp BD\to I$ là trung điểm $DE$

Xét $\Delta AEI,\Delta BEH$ có:

$\widehat{AEI}=\widehat{BEH},\widehat{AIE}=\widehat{BHE}(=90^o)$

$\to \Delta AEI\sim\Delta BEH(g.g)$

$\to\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{EI}{EH}$

$\to \dfrac{EA}{EI}=\dfrac{EB}{EH}$

Mà $\widehat{AEB}=\widehat{IEH}$

$\to \Delta EAB\sim\Delta EIH(c.g.c)$

$\to \widehat{EHI}=\widehat{EBA}=\widehat{EBH}$

Ta có $\Delta MEH$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $BE\to MH=MB=ME$

$\to \Delta MEH$ cân tại $M$

$\to \widehat{IHM}=\widehat{IHE}+\widehat{EHM}=\widehat{EBH}+\widehat{MEH}=90^o$

$\to IH\perp HM$