Giải thích các bước giải:

a.Ta có  $\Delta ABC$ vuông tại $A\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

Vì $BD$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac35$

$\to \dfrac{DA}{DA+DC}=\dfrac3{3+5}$

$\to\dfrac{AD}{AC}=\dfrac38$

$\to AD=\dfrac38AC=3\to CD=AC-AD=5$

b.Xét $\Delta AHB,\Delta ABC$ có: 

Chung $\hat B$

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CAB(g.g)$

$\to \dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}$

Mà $BI,BD$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DA}{DC}$

c.Xét $\Delta ABD,\Delta BIH$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{IBH}$

$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}(=90^o)$

$\to\Delta ABD\sim\Delta HBI(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BD}{BI}$

$\to AB.BI=BD.HB$

Mặt khác $\widehat{ADB}=\widehat{BIH}$

$\to \widehat{ADI}=\widehat{AID}$

$\to\Delta AID$ cân 

a) Áp dụng định ;í Pitago vào ΔABC vuông tại A

⇒$BC^{2}$ $=AB^{2}$ $+AC^{2}$ =6^{2}$ $+8^{2}$=100 ⇒BC=10 (cm)

Có: BD là phân giác góc ABC của ΔABC

⇒$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{DC}$(1)  ⇔$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{AC-AD}$ 

⇔$\frac{6}{10}$ = $\frac{AD}{8-AD}$ ⇔6(8-AD)=10AD 

⇔ 48-6AD=10AD  ⇔16AD=48 ⇔ AD=3 (cm)

Có DC= AC-AD= 8- 3= 5(cm)

b)Ta có  BI là p/g ∠ABH của ΔABH

⇒$\frac{IA}{IH}$ =$\frac{BH}{BA}$  (2)

Xét ΔABC và ΔHBA có:

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA (=$90^{o}$ )

⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g-g)

⇒$\frac{BH}{BA}$ =$\frac{BA}{BC}$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒$\frac{IH}{IA}$ $=^{}$ $\frac{AD}{DC}$  (đpcm)

c) Xét ΔABI và ΔCBD có:

∠ABI=∠CBD (BI là p/g ∠ABH)

∠BAH=∠BCA (cùng phụ ∠ABC)

⇒  ΔABI~ΔCBD (g-g)

⇒ $\frac{AB}{BC}$ =$\frac{IA}{DC}$ (4)

Từ (1) và (4) ⇒$\frac{AD}{DC}$= $\frac{IA}{DC}$ ⇒ AD=IA 

⇒ΔADI cân tại A

Xét ΔABD và ΔHBI có:

∠BAD=∠HBI $(=90^{o}$) 

∠ABD=∠HBI (BI là p/g ∠HBA)

⇒ΔABD~ΔHBI (g-g)

⇒ $\frac{AB}{BD}$ =$\frac{HB}{BI}$ 

⇒ AB.BI= BD.HB (đpcm)

@thuyylinhh20042007