`a)` $AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$

`=>AB=AC`

Mà $OB=OC=R$

`=>OA` là trung trực của $BC$

`=>OA`$\perp BC$

$\\$

Vì $MN$ đi qua tâm $O$ và $M;N\in (O)$

`=>MN` là đường kính của $(O)$

`=>\hat{MBN}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\\$

$AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>AB`$\perp OB$

`=>\hat{OBA}=90°`

$\\$

`=>\hat{MBN}=\hat{OBA}=90°`.

$\\$

`b)` $OA$ cắt $BC$ tại $H$ (gt)

Mà $OA$ là trung trực $BC$ (c/m trên)

`=>OA`$\perp BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$

`=>\hat{AHB}=90°`

$\\$

$\quad BE$//$OA$ (gt)

`=>\hat{CBE}=\hat{AHB}=90°` (hai góc so le trong)

`=>\hat{CBE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CE}=90°`

`=>sđ\stackrel\frown{CE}=180°`

`=>CE` là đường kính của $(O)$ 

`=>CE=2R`

$\\$

$AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$

`=>AC`$\perp OC$

`=>\hat{ACO}=90°`

`=>∆ACE` vuông tại $C$

`=>AE^2=AC^2+CE^2` (định lý Pytago)

`=>AE^2=AB^2+(2R)^2` (vì $AB=AC$)

`=>AE^2=AB^2+4R^2`

$\\$

Xét $∆ABD$ và $∆AEB$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{ABD}=\hat{AEB}` (cùng chắn cung $DB$)

`=>∆ABD∽∆AEB` (g-g)

`=>{AB}/{AE}={AD}/{AB}`

`=>AB^2=AD.AE`

$\\$

`\qquad ED.EA=(EA-AD).EA`

`=AE^2-AD.AE`

`=AB^2+4R^2-AB^2=4R^2`

$\\$

Vậy `ED.EA=4R^2`

$\\$

`c)` Xét $∆ABO$ vuông tại $B$ có $BH\perp OA$

`=>AB^2=AH.AO` (hệ thức lượng) $(1)$

$\\$

Xét $∆ABM$ và $∆ANB$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{ABM}=\hat{ANB}` (cùng chắn cung $BM$)

`=>∆ABM∽∆ANB` (g-g)

`=>{AB}/{AN}={AM}/{AB}`

`=>AB^2=AM.AN` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>AH.AO=AM.AN`

`=>AH.(AM+MO)=AM.(AH+HN)`

`=>AH.AM+AH.MO=AH.AM+HN.AM`

`=>AH.MO=HN.AM` $(3)$

$\\$

`\qquad AH.AO=AM.AN`

`=>(AM+MH).(AN-ON)=AM.AN`

`=>AM.AN+MH.AN-(AM+MH).ON=AM.AN`

`=>MH.AN-AH.ON=0`

`=>MH.AN=AH.ON=AH.OM` $(4)$

`\qquad ` (do $OM=ON=R$) 

Từ `(3);(4)=>HN.AM=MH.AN`

Vậy: `HM.AN=HN.MA`