`a)` $AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ của $(O)$

`=>AB=AC`

Mà `OB=OC`=bán kính của $(O)$

`=>OA` là trung trực $BC$

Vì $OA$ cắt $BC$ tại $H$

`=>OA`$\perp BC$ tại $H$

`=>\hat{BHO}=90°`

$\\$

Ta có: $OB=OD$= bán kính của $(O)$

`\qquad IB=ID`= bán kính của $(I)$

`=> OI` là trung trực của $BD$

Vì $K$ là giao điểm $OI$ và $BD$

`=>OI`$\perp BD$ tại $K$

`=>\hat{BKO}=90°`

`=>\hat{BHO}=\hat{BKO}=90°`

`=>BKHO` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh $BO$ dưới góc vuông)

`=>\hat{OKH}=\hat{OBH}` (cùng chắn cung $OH$)

Mà: `\hat{OBH}=\hat{BAO}` (cùng phụ `\hat{ABH}`)

`=>\hat{OKH}=\hat{BAO}=\hat{IAH}`

`=>HKIA` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`b)` $E$ là trung điểm của $MN$

`=>OE`$\perp MN$ tại $E$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>\hat{AEO}=90°`

Xét $∆AEO$ và $∆THO$ có:

`\qquad \hat{O}` chung

`\qquad \hat{AEO}=\hat{THO}=90°`

`=>∆AEO∽∆THO` (g-g)

`=>{OE}/{OH}={OA}/{OT}`

`=>OE.OT=OA.OH`

$\\$

Xét $∆ABO$ vuông tại $B$ có $BH\perp OA$

`=>OA.OH=OB^2` (hệ thức lượng)

`=>OA.OH=ON^2` ($ON=OB$ =bán kính của $(O)$)

$\\$

`=>OE.OT=ON^2`

`=>{ON}/{OE}={OT}/{ON}`

$\\$

Xét $∆ONT$ và $∆OEN$ có:

`\qquad \hat{O}` chung

`\qquad {ON}/{OE}={OT}/{ON}` (c/m trên)

`=>∆ONT∽∆OEN` (c-g-c)

`=>\hat{ONT}=\hat{OEN}=90°`

`=>TN`$\perp ON$

`=>TN` là tiếp tuyến tại $N$ của $(O)$

$\\$

Xét $∆ACM$ và $∆ANC$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ACM}=\hat{ANC}` (cùng chắn cung $MC$)

`=>∆ACM∽∆ANC` (g-g)

`=>{AC}/{AN}={AM}/{AC}`

`=>AM.AN=AC^2`

$\\$

$∆ACO$ vuông tại $C$ có $CH\perp OA$

`=>AH.AO=AC^2` (hệ thức lượng)

$\\$

`=>AH.AO=AM.AN`

`=>{AH}/{AN}={AM}/{AO}`

$\\$

Xét $∆AHM$ và $∆ANO$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad {AH}/{AN}={AM}/{AO}`

`=>∆AHM∽∆ANO` (c-g-c)

`=>\hat{MHA}=\hat{ONA}=\hat{MNO}`

Vậy `\hat{MHA}=\hat{MNO}` $(1)$

$\\$

`c)` Xét tứ giác $MNOH$ có:

`\qquad \hat{MHA}=\hat{MNO}` (c/m trên)

`=>MNOH` nội tiếp

`=>\hat{OHN}=\hat{OMN}` (cùng chắn cung $ON$)

Mà `OM=ON`=bán kính của $(O)$

`=>∆OMN` cân tại $O$

`=>\hat{OMN}=\hat{MNO}`

$\\$

`=>\hat{OHN}=\hat{MNO}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{MHA}=\hat{OHN}`

Mà `\hat{MHA}=\hat{OHL}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{OHN}=\hat{OHL}` 

`=>HO` là phân giác `\hat{NHL}`

$\\$

`\qquad MHON` nội tiếp 

`=>\hat{OMH}=\hat{ONH}` (cùng chắn cung $OH$)

Mà `OM=OL`=bán kính của $(O)$

`=>∆OML` cân tại $O$

`=>\hat{OLM}=\hat{OML}`

`=>\hat{OLH}=\hat{OMH}`

$\\$

`=>\hat{ONH}=\hat{OLH}` $(2)$

$\\$

Ta có:

`\hat{ONH}+\hat{OHN}+\hat{NOH}=180°`

`\hat{OLH}+\hat{OHL}+\hat{LOH}=180°`

`=>\hat{NOH}=\hat{LOH}`

$\\$

Xét $∆ONH$ và $∆OLH$ có:

`\hat{OHN}=\hat{OHL}`

$OH$ là cạnh chung

`\hat{NOH}=\hat{LOH}`

`=>∆ONH=∆OLH` (g-c-g)

`=>NH=LH`

`=>∆HNL` cân tại $H$

`=>HO` vừa là phân giác và đường cao của $∆HNL$

`=>HO`$\perp NL$

Mà $HO\perp BC$ (đã c/m)

`=>NL`//$BC$