Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)M \in AC, AM=\dfrac{2}{3}MC\\ \Rightarrow AM=\dfrac{2}{5}AC$

$\Delta BAM$ và $\Delta BAC$ chung đường cao hạ từ $B$ xuống $AM(AC)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{BAM}}{S_{BAC}}=\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{2}{5}\\ \Rightarrow S_{BAM}=\dfrac{2}{5}S_{BAC}=24(cm^2)\\ b)N \in BC, CN=\dfrac{1}{3}BN\\ \Rightarrow CN=\dfrac{1}{4}BC\\ S_{BMC}=S_{ABC}-S_{BAM}=36(cm^2)$

$\Delta BMC$ và $\Delta MNC$ chung đường cao hạ từ $B$ xuống $BC(NC)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{MNC}}{S_{BMC}}=\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow S_{MNC}=\dfrac{1}{4}S_{BMC}=9(cm^2)\\ S_{ABNM}=S_{ABC}-S_{MNC}=51(cm^2)\\ c)S_{BMN}=S_{BMC}-S_{MNC}=27(cm^2)$

Ta có $\dfrac{AO}{ON}=\dfrac{S_{AMO}}{S_{NMO}}$ (chung đường cao kẻ từ $M$)

$\dfrac{AO}{ON}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{NOB}}$ (chung đường cao kẻ từ $B$)

$\Rightarrow \dfrac{S_{AMO}}{S_{NMO}}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{NOB}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{S_{AMO}}{S_{NMO}}=\dfrac{S_{BAM}-S_{AMO}}{S_{BMN}-S_{NMO}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{S_{AMO}}{S_{NMO}}=\dfrac{24-S_{AMO}}{27-S_{NMO}}\\ \Leftrightarrow S_{AMO}(27-S_{NMO})=S_{NMO}(24-S_{AMO})\\ \Leftrightarrow 27S_{AMO}-S_{NMO}S_{AMO}=24S_{NMO}-S_{AMO}S_{NMO}\\ \Leftrightarrow 27S_{AMO}=24S_{NMO}\\ \Leftrightarrow \dfrac{S_{AMO}}{S_{NMO}}=\dfrac{24}{27}\\ \dfrac{AO}{ON}=\dfrac{S_{AMO}}{S_{NMO}} =\dfrac{24}{27}.$