Đáp án:

a) Xét hai tam giác vuông $\Delta BAC$ và $\Delta BAD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AD=AC\,\rm(gt)\\AB\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta BAC=\Delta BAD$ (c-g-c).

b) $\Delta BAC=\Delta BAD$ (cmt).

$\Rightarrow BD=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác $\Delta BAD$ và $\Delta AEC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AE\,\rm(gt)\\\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\,\rm(đ^2)\\AD=AC\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta BAD=\Delta AEC$ (c-g-c)

$\Rightarrow BD=CE$ (hai cạnh tương ứng) mà $BD=BC$

$\Rightarrow BC=CE\Rightarrow CBE$ cân.

c) $AB=AE\Rightarrow A$ là trung điểm của $BE$

$\Rightarrow AP$ là đường trung tuyến của $\Delta PEB$.
$AD=AC=\dfrac{CD}2\Rightarrow CD=2AC$
Mà $CP=CD$ nên $CP=2AC$
$\Rightarrow CP=\dfrac23AP$ mà $C\in$ đường trung tuyến $AP$
$\Rightarrow C$ là trọng tâm của $\Delta PEB$.

d) $C$ là trọng tâm của $\Delta PEB$

$\Rightarrow EC$ đi qua trọng tâm $C$

$\Rightarrow EC$ là đường trung tuyến của $\Delta PEB$

$\Rightarrow EC$ đi qua trung điểm của $BP$

Mà $N$ là trung điểm của $BP$

$\Rightarrow EN$ là đường trung tuyến của $\Delta PEB$

$\Rightarrow EN$ đi qua trọng tâm $C$

$\Rightarrow C\in EN\Rightarrow E,C,N$ thẳng hàng.