`a)` $BF;CE$ là hai đường cao của $∆ABC$

`=>BF`$\perp AC$ tại $F$

`=>\hat{BFC}=90°`

`\qquad CE`$\perp AB$ tại $E$

`=>\hat{BEC}=90°`

`=>\hat{BFC}=\hat{BEC}=90°`

`=>`Tứ giác $BEFC$ có hai đỉnh kề nhau $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông

`=>` Tứ giác `BEFC` nội tiếp 

$\\$

$\quad BF\perp AC$ tại $F$

`=>\hat{AFH}=90°`

$\quad CE\perp AB$ tại $E$

`=>\hat{AEH}=90°`

`=>\hat{AFH}+\hat{AEH}=90°+90°=180°`

`=>AEHF` nội tiếp (vì có tổng hai góc đối $180°$)

`=>\hat{EAF}+\hat{EHF}=180°` 

Mà `\hat{EHF}=\hat{BHC}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{EAF}+\hat{BHC}=180°`

`=>\hat{BAC}+\hat{BHC}=180°`

`=>\hat{BHC}=180°-\hat{BAC}`

$\\$

`b)` Xét $∆AEH$ và $∆ADB$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{AEH}=\hat{ADB}=90°`

`=>∆AEH∽∆ADB` (g-g)

`=>{AE}/{AD}={AH}/{AB}`

`=>AE.AB=AH.AD` $(1)$

$\\$

Xét $∆AFH$ và $∆ADC$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{AFH}=\hat{ADC}=90°`

`=>∆AFH∽∆ADC` (g-g)

`=>{AF}/{AD}={AH}/{AC}`

`=>AF.AC=AH.AD` $(2)$

$\\$

$\quad BEFC$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{AEF}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

Mà `\hat{ANB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

`=>\hat{AEF}=\hat{ANB}`

`=>\hat{AEM}=\hat{ANB}`

$\\$

Xét $∆AEM$ và $∆ANB$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{AEM}=\hat{ANB}` (c/m trên)

`=>∆AEM∽∆ANB` (g-g)

`=>{AE}/{AN}={AM}/{AB}`

`=>AE.AB=AM.AN` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)` suy ra:

`AE.AB = AH.AD=AM.AN = AF. AC`

$\\$

`c)` Vẽ tiếp tuyến $xy$ tại $A$ của $(O)$

`=>xy`$\perp OA$ tại $A$ $(4)$

Ta có:

`\qquad \hat{xAB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

`\qquad hat{AEF}=\hat{ACB}` (đã c/m)

`=>\hat{xAB}=\hat{AEF}`

Mà `\hat{xAB};\hat{AEF}` ở vị trí so le trong 

`=>xy`//$EF$ $\ (5)$

$\\$

Từ `(4);(5)=>OA`$\perp EF$