`a)` $AH\perp BC$ tại $H$

`=>\hat{AHB}=90°`

$\quad BE\perp AD$ tại $E$

`=>\hat{AEB}=90°`

`=>\hat{AHB}=\hat{AEB}=90°`

`=>ABHE` nội tiếp (vì có $2$ đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)

`=>\hat{DEH}=\hat{ABH}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{ABH}=\hat{ADC}` (cùng chắn cung $AC$ của $(O))$

`=>\hat{DEH}=\hat{ADC}`

Mà `\hat{DEH};\hat{ADC}` ở vị trí so le trong 

`=>HE`//$DC$ $\ (1)$

$\\$

Ta lại có:

`\qquad \hat{ACD}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AC`$\perp DC$ $\ (2)$

Từ `(1);(2)=>AC`$\perp HE$

$\\$

`b)` Vẽ $BN\perp AC$ tại $N$

`\qquad ` Xét tứ giác $ANEB$ có:

`\qquad \hat{ANB}=\hat{AEB}=90°`

`=>ANEB` nội tiếp (có $2$ đỉnh kề nhau $N;E$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)

`=>\hat{BNE}=\hat{BAE}` (cùng chắn cung $BE$)

Mà `\hat{BCD}=\hat{BAE}` (cùng chắn cung $BD$ của $(O))$

`=>\hat{BNE}=\hat{BCD}`

$\\$

Ta có: $BN$//$DC$ (cùng vuông góc $AC$)

`=>\hat{NBM}=\hat{BCD}` (hai góc so le trong)

`=>\hat{BNE}=\hat{NBM}` $(3)$

$\\$

$\quad ∆BCN$ vuông tại $N$ có trung tuyến $NM$

`\qquad ` (do $M$ là trung điểm $BC$)

`=>MN=MB=1/ 2 BC`

`=>BMN` cân tại $M$

`=>\hat{NBM}=\hat{BNM}` $(4)$

Từ `(3);(4)=>\hat{BNE}=\hat{BNM}`

`=>N;E;M` thẳng hàng 

$\\$

Xét $∆BMN$ có $HE$//$BN$ (cùng vuông góc $AC$)

`=>{MH}/{MB}={ME}/{MN}` (định lý Talet)

Mà `MN=MB` (c/m trên)

`=>MH=ME`

$\\$

Vẽ $CK\perp AB$ tại $K$, chứng minh tương tự được $MH=MF$

$\\$

`=>MH=ME=MF`

`=>M` cách đều $3$ đỉnh $H;E;F$ của $∆HEF$

`=>`$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆HEF$