Bài làm:

Xét `\triangle\text{ABC,}` ta có`:`

`\hat\text{ABC}+\hat\text{ACB}+\hat\text{BAC}=180^\text{o}` `(`Tổng `3` góc trong `1` tam giác`)`

Lại có`:` `\hat\text{BAC}=\hat\text{ABC}+\hat\text{ACB}`

Suy ra`:` `\hat\text{BAC}+\hat\text{BAC}=180^\text{o}`

`=>``2``\hat\text{BAC}=180^\text{o}`

`=>``\hat\text{BAC}=90^\text{o}`

`=>``\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A}`  `(1)`

Từ `\text{BC}/\text{BA}=\sqrt{2} \text{ (gt)}=>\text{BC}=\sqrt{2}.\text{AB}=>\text{BC}^2=2\text{AB}^2`

Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` lại có`:`

`\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2` `(`Định lý Py-ta-go`)`

`=>2\text{AB}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2`

`=>\text{AB}^2+\text{AB}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2`

`=>text{AB}^2=\text{AC}^2`

`=>text{AB}=\text{AC}`

`=>``\triangle\text{ABC}` cân tại `\text{A}`  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:` `\triangle\text{ABC}` vuông cân tại `\text{A}`

`a)` Ta có`:` `\hat\text{BAD}+\hat\text{DAC}=\hat\text{BAC}=90^\text{o}`  `(3)`

Xét `\triangle\text{ACH}` vuông tại `\text{H,}` ta có`:`

`\hat\text{HAC}+\hat\text{HCA}=90^\text{o}`  `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra`:` `\hat\text{BAD}+\hat\text{DAC}=\hat\text{HAC}+\hat\text{HCA}`

Mà `\hat\text{DAC}=\hat\text{HAC}` `(`Vì `\text{A, H, D}` thẳng hàng`)`

`=>``\hat\text{HCA}=\hat\text{BAD}\text{ (đpcm)}`

`b)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông cân tại `\text{A},` ta có`:`

`\text{M}` là trung điểm của `\text{BC}`

`=>``\text{AM}` là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy `\text{BC}` của `\triangle\text{ABC}` cân tại `\text{A}`

`=>``\text{AM}` đồng thời là đường cao của `\triangle\text{ABC}`

`=>``\text{AM }\bot\text{ BC}`

Xét `\triangle\text{ADM}` vuông tại `\text{M,}` ta có`:`

`\hat\text{DAM}+\hat\text{ADM}=90^\text{o}`  `(5)`

Xét `\triangle\text{HDC}` vuông tại `\text{H,}` ta có`:`

`\hat\text{HCD}+\hat\text{HDC}=90^\text{o}`  `(6)`

Từ `(5)` và `(6)` suy ra`:` `\hat\text{DAM}+\hat\text{ADM}=\hat\text{HCD}+\hat\text{HDC}`

Mà `\hat\text{ADM}=\hat\text{HDC}`

Suy ra`:` `\hat\text{DAM}=\hat\text{HCD}\text{ (đpcm)}`

`c)` Xét `\triangle\text{ABM}` vuông tại `\text{M},` ta có`:`

`\hat\text{BAM}+\hat\text{ABM}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{BAM}+45^\text{o}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{BAM}=90^\text{o}-45^\text{o}=45^\text{o}`

Xét `\triangle\text{ACD,}` ta có`:`

`{:(\text{AM }\bot\text{ DC}),(\text{CH }\bot\text{ AD}),(\text{AM }\cap \text{ CH =} {\text{N}}):}}=>\text{N` là trực tâm của `\triangle\text{ACD}`

`=>``\text{DN}` là đường cao của `\triangle\text{ACD}`

`{:(=>\text{DN }\bot\text{ AC}),(\text{Lại có: } \text{AB }\bot\text{ AC}):}}=>\text{AB // DN}`

`=>``\hat\text{BAN}+\hat\text{DNA}=180^\text{o}` `(`Hai góc trong cùng phía`)`

`=>``\hat\text{BAM}+\hat\text{DNA}=180^\text{o}`

`=>``45^\text{o}+\hat\text{DNA}=180^\text{o}`

`=>``\hat\text{DNA}=180^text{o}-45^\text{o}=135^\text{o}`

Vậy `\hat\text{DNA}=135^\text{o}`