Bài làm:

`a)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` ta có`:`

`\hat\text{ABC}+\hat\text{ACB}=90^\text{o}` `(1)`

Xét `\triangle\text{AMC}` và `\triangle\text{DMB}``,` ta có`:`

`\text{MC = MB (gt)}`

`\hat\text{AMC}=\hat\text{DMB}` `(`Hai góc đối đỉnh`)`

`\text{MA = MD (gt)}`

`=>``\triangle\text{AMC}``=``\triangle\text{DMB}` `\text{(c.g.c)}`

`=>``\hat\text{ACM}=\hat\text{DBM}` `(`Hai góc tương ứng`)`

Hay `\hat\text{ACB}=\hat\text{DBC}` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:` `\hat\text{ABC}+\hat\text{DBC}=90^\text{o}`

                                Hay `\hat\text{ABD}=90^\text{o}`

`b)` Từ `\triangle\text{AMC}``=``\triangle\text{DMB}` `\text{(cmt)}`

`=>``\text{AC = DB}` `(`Hai cạnh tương ứng`)`

Xét hai tam giác vuông `\text{ABC}` và `\text{BAD},` ta có`:`

`\text{AC = BD (cmt)}`

`\text{AB}:` cạnh chung

`=>``\triangle\text{ABC}``=``\triangle\text{BAD}` `(`Hai cạnh góc vuông`)`

`c)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` ta có`:`

Đường trung tuyến `\text{AM}` ứng với cạnh huyền `\text{BC}`

`=>\text{AM}=1/2\text{BC}` `(`Tính chất tam giác vuông`)`

`=>2\text{AM = BC}`

`d)` Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A},` ta có`:`

`\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2` `(`Định lý Py-ta-go`)`

`=>\text{BC}^2=5^2+12^2=25+144=169`

`=>\text{BC}=\sqrt{169}=13` `(\text{cm)}`

Lại có`:` `\text{AM}=1/2\text{BC}` `(\text{cmt)}`

`=>\text{AM}=13/2=6,5` `\text{(cm)}`

`e)` Ta có`:` `{(\text{MB = MC = 6,5 cm}),(\text{HB = MB}-\text{HM}),(\text{HC = MC}+\text{HM}):}`

`=>``{(\text{HB = 6,5}-\text{HM}),(\text{HC = 6,5}+\text{HM}):}`

Xét `\triangle\text{ABH}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{HB}^2`

`=>``\text{AH}^2=\text{AB}^2-\text{HB}^2`

`=>``\text{AH}^2=5^2-(6,5-\text{HM})^2`

`=>``\text{AH}^2=25-(6,5-\text{HM}).(6,5-\text{HM})`

`=>``\text{AH}^2=25-[(6,5-\text{HM}).6,5-(6,5-\text{HM}).\text{HM}]`

`=>``\text{AH}^2=25-(42,25-6,5\text{HM}-6,5\text{HM}+\text{HM}^2)`

`=>``\text{AH}^2=25-42,25+13\text{HM}-\text{HM}^2`

`=>``\text{AH}^2=13\text{HM}-\text{HM}^2-17,25`     `(3)`

Xét `\triangle\text{ACH}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{AC}^2=\text{AH}^2+\text{HC}^2`

`=>``\text{AH}^2=\text{AC}^2-\text{HC}^2`

`=>``\text{AH}^2=12^2-(6,5+\text{HM})^2`

`=>``\text{AH}^2=144-(6,5+\text{HM}).(6,5+\text{HM})`

`=>``\text{AH}^2=144-[(6,5+\text{HM}).6,5+(6,5+\text{HM}).\text{HM}]`

`=>``\text{AH}^2=144-(42,25+6,5\text{HM}+6,5\text{HM}+\text{HM}^2)`

`=>``\text{AH}^2=144-42,25-13\text{HM}-\text{HM}^2`

`=>``\text{AH}^2=101,75-13\text{HM}-\text{HM}^2` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra`:`

`13\text{HM}-\text{HM}^2-17,25=101,75-13\text{HM}-\text{HM}^2`

`=>13\text{HM}-17,25=101,75-13\text{HM}`

`=>13\text{HM}+13\text{HM}=101,75+17,25`

`=>26\text{HM}=119`

`=>\text{HM}=119/26~~4,58\text{ (cm)}`

Xét `\triangle\text{AHM}` vuông tại `\text{H},` ta có`:`

`\text{AM}^2=\text{AH}^2+\text{HK}^2`

`=>6,5^2=\text{AH}^2+4,58^2`

`=>42,25=\text{AH}^2+20,98`

`=>\text{AH}^2=42,25-20,98=21,27`

`=>\text{AH}=\sqrt{21,27}~~4,6` `\text{(cm)}`

Vậy `\text{AH} ~~ 4,6 \text{cm; HM} ~~ 4,58 \text{cm}`

`a)` Xét $\triangle$ $BMD$ và $\triangle$ $CMA$ ta có $:$

$BM = MC ($ vì $AM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC )$

$\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$AM = MD ( gt )$

`=>` $\triangle$ $BMD$ $=$ $\triangle$ $CMA ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{MAC}$ $=$ $\widehat{MDB}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $2$ góc này ở vị trí sole trong

`=>` $AC // BD$Mà $AC$ $\bot$ $AB ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$

`=> BD` $\bot$ $AB ($ từ $\bot$ `=>` $// )$

`=>` $\widehat{ABD}$ `= 90^o`

`b)` Xét $\triangle$ $ABC$ và $\triangle$ $BAD$ ta có $:$

$\widehat{ABD}$ $=$ $\widehat{BAC}$ $= 90^o ( cmt )$

$AB$ chung

$AC = BD ($ vì $\triangle$ $BMD$ $=$ $\triangle$ $CMA )$

`=>` $\triangle$ $ABC$ $=$ $\triangle$ $BAD ( cgv - cgv )$

`c)` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$ và đường trung tuyến $AM$ ta có `:`

`AM = 1/2BC (` Trung tuyến ứng với cạnh huyền $)$

`<=> BC = 2AM`

`d)` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$ ta có `:`

`BC^2 = AB^2 + AC^2 (` Định lý Pitago $)$

`=> BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169`

`=> BC = 13 ( BC > 0 )`

Mà `AM = 1/2BC ( cmt )`

`=> AM = 1/2 . 13 = 13/2`

Vậy `AM = 13/2cm`

`e)`