`1,` Vì `AB < AC < BC` nên ta xét :

`AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25`

`BC^2 = 5^2 = 25`

`=> AB^2 + AC^2 = BC^2`

`=> ΔABC` vuông tại `A`

`2,`

`a,` Xét `ΔMAH` và `ΔMCH` có :

`hat{MHA} = hat{MHC} = 90^0` ( gt )

`MH` chung

`AH = HC` ( gt )

`=> ΔMAH = ΔMCH( c.g.c )`

`=> AM = MC` ( `2` cạnh tương ứng )

`=> hat{M_1} = hat{M_2}` ( `2` góc tương ứng )

mà `hat{M_1} = hat{M_3}` ( đối đỉnh )

`=> hat{M_2} = hat{M_3}`

Xét `ΔMHA` và `ΔMKB` có :

`MH = MK` ( gt )

`AM = BM ( = MC )`

`hat{M_2} = hat{M_3}` ( cmt )

`=> ΔMHA = ΔMKB (c.g.c)`

`b,` Xét `ΔMHC` và `MKB` có :

`hat{M_1} = hat{M_3}` ( đối đỉnh )

`MH = MK` ( gt )

`MB = MC` ( gt )

`=> ΔMHC = MKB (c.g.c)`

`=> hat{MHC} = hat{MKB}` ( `2` góc tương ứng )

mà hai góc ở vị trí so le trong

`=> HB //// KC`

`3,`

`AH = HC` ( cmt )

`=>` Trung tuyến `BH`

`MB = MC` ( gt )

`=>` Trung tuyến `AM`

Xét `ΔABC` có trung tuyến `BH` cắt trung tuyến `AM` tại `G`

`=>` Trọng tâm `G.`

`|__L__|`

`1) AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 +  16 = 25`

`BC^2 = 5^2 = 25`

`=> BC^2 = AB^2 + AC^2 ( = 25 )`

`=>` $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ($ Định lý Pitago đảo $)$

`2)`

`a)` Ta có `: MH` $\bot$ $AC ( gt )$

Mà $BA$ $\bot$ $AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$

`=>` $MH // AB ($ từ $\bot$ `=>` $// )$

Vì $M$ là trung điểm $BC ( gt )$

`=> H` là trung điểm $AC ($ tính chất đường trung bình $)$

Xét $\triangle$ $MHA$ và $\triangle$ $MHC$ ta có $:$

$\widehat{MHA}$ $=$ $\widehat{H2}$ $= 90^o ($ vì $ MH` $\bot$ $AC )$

$MH$ chung

$HA = HC ($ vì $H$ là trung điểm $AC )$

`=>` $\triangle$ $MHA$ $=$ $\triangle$ $MHC ( cgv - cgv )$

`=>` $\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $\widehat{M2}$ $=$ $\widehat{M3}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`=>` $\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M3}$ $( =$ $\widehat{M2}$ $)$

Ta có `: MA = MC (` vì $\triangle$ $MHA$ $=$ $\triangle$ $MHC )$

Mà `MC = MB (` vì $M$ là trung điểm $BC )$

`=> MA = MB ( = MC )`

Xét $\triangle$ $MHA$ và $\triangle$  $MKB$ ta có $:$

$MH = MK ( gt )$ 

$\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M3} ( cmt )$

$MB = MA ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $MHA$ $=$ $\triangle$  $MKB ( c - g - c )$

`b)` Xét $\triangle$ $MHB$ và $\triangle$ $MKC$ ta có $:$

$BM = MC ( cmt )$

$\widehat{BMH}$ $=$ $\widehat{KMC}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$MH = MK ( gt )$

`=>` $\triangle$ $MHB$ và $\triangle$ $MKC ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{HBM}$ $=$ $\widehat{KCM}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $2$ góc ở vị trí sole trong

`=>` $BH // KC ( dhnb )$

`3)`

Xét $\triangle$ $ABC$ ta có $:$

$AM$ là trung tuyến $( M$ là trung điểm $BC )$

$BH$ là trung tuyến $( H$ là trung điểm $AC )$

Mà `AM nn BH = {G}`

`=> G in` trọng tâm $\triangle$ $ABC