Đáp án:

a) $E$ là trung điểm của $AB\Rightarrow AE=BE$.

Xét hai tam giác $\Delta BEC$ và $\Delta AQE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AE=BE\,\rm(cmt)\\\widehat{AEQ}=\widehat{BEC}\,\rm(đ^2)\\QE=CE\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta BEC=\Delta AQE$ (c-g-c).

$\Rightarrow BC=AQ$ (hai cạnh tương ứng).

$F$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AF=CF$.

Xét hai tam giác $\Delta BCF$ và $\Delta AFN$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AF=CF\,\rm(cmt)\\\widehat{BFC}=\widehat{AFN}\,\rm(đ^2)\\NF=BF\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta BCF=\Delta AFN$ (c-g-c).

$\Rightarrow BC=AN$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $BC=AQ$ nên $AN=BC=AQ$

$\Rightarrow AN=AQ$.

b) $\Delta BEC=\Delta AQE$ (cmt).

$\Rightarrow\widehat{BCE}=\widehat{AQE}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AQ//BC$ (cặp góc so le trong).

$\Delta BCF=\Delta AFN$ (cmt).

$\Rightarrow\widehat{BCF}=\widehat{ANF}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AN//BC$ (cặp góc so le trong).

Mà $AQ$ và $AN$ chung gốc $A$

$\Rightarrow AQ+AN//BC\Rightarrow QN//BC$.

$\Rightarrow QN$ là một đoạn thẳng mà $A\in QN$

$\Rightarrow N,A,Q$ thẳng hàng.

c) Xét hai tam giác $\Delta ACE$ và $\Delta BQE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AE=BE\,\rm(cmt)\\\widehat{AEC}=\widehat{BEQ}\,\rm(đ^2)\\QE=CE\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta ACE=\Delta BQE$ (c-g-c).

$\Rightarrow\widehat{BQE}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow BQ//AC$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác $\Delta ABF$ và $\Delta NCF$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AF=CF\,\rm(cmt)\\\widehat{AFB}=\widehat{NFC}\,\rm(đ^2)\\NF=BF\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta ABF=\Delta NCF$ (c-g-c).

$\Rightarrow\widehat{ANF}=\widehat{BCF}$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow CN//AB$ (cặp góc so le trong).

d) $AQ=BC=AN\Rightarrow AQ+AN=BC+BC$

$\Rightarrow NQ=2BC$.

Ta có $BQ//AC$ mà $B\in MQ$ nên $MQ//AC$.

$\Rightarrow BM//AC\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CBM}$ (cặp góc so le trong).

Lại có $CN//AB$ mà $C\in MN$ nên $MN//AB$

$\Rightarrow CM//AB\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCM}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta BCM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ACB}=\widehat{CBM}\,\rm(cmt)\\BC\rm\ là\ cạnh\ chung\\\widehat{ABC}=\widehat{BCM}\,\rm(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta ABC=\Delta BCM$ (g-c-g).

$\Rightarrow AC=BM$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta BQE=\Delta ACE\Rightarrow AC=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow AC=BM=BQ\Rightarrow BM+BQ=AC+AC$

$\Rightarrow MQ=2AC$.

$\Delta ABC=\Delta BCM\Rightarrow AB=CM$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABF=\Delta NCF\Rightarrow AB=CN$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow AB=CM=CN\Rightarrow CN+CM=AB+AB$

$\Rightarrow MN=2AB$.

Ta có $P_{\Delta NQM}=MN+MQ+NQ$

$=2AB+2AC+2BC$

$=2.(AB+AC+BC)=2P_{\Delta ABC}$

Vậy chu vi $\Delta NQM=2$ lần chu vi $\Delta ABC$.

e) $AN=AQ\Rightarrow A$ là trung điểm của $NQ$

$\Rightarrow AM$ là đường trung tuyến của $\Delta NQM$.

$CN=CM\Rightarrow C$ là trung điểm của $MN$

$\Rightarrow CQ$ là đường trung tuyến của $\Delta NQM$.

$BM=BQ\Rightarrow B$ là trung điểm của $MQ$

$\Rightarrow BN$ là đường trung tuyến của $\Delta NQM$.

$\Rightarrow AM,BN,CQ$ đồng quy.