Giải thích các bước giải:

1.Vì $EA, EC$ là tiếp tuyến của $(O)\to EA\perp OA, EC\perp OC$

$\to \widehat{EAO}=\widehat{ECO}=90^o$

$\to AECO$ nội tiếp đường tròn đường kính $OE$

Vì $EA, EC$ là tiếp tuyến của $(O)\to EA=EC, OE$ là phân giác $\widehat{AOC}$

Tương tự $FC=FB, OF$ là phân giác $\widehat{COB}$

Do $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^o\to OE\perp OF$

Mà $OC\perp EF$

$\to AE\cdot BF=CE\cdot CF=CO^2=R^2$

b.Ta có: $EA, EC$ là tiếp tuyến của $(O), OE\cap AC=M\to M$ là trung điểm $AC$

Tương tự $N$ là trung điểm $BC$

Vì $CH\perp AB=H, M$ là trung điểm $AC\to M=MA=MC=\dfrac12AC$

$\to \Delta MAH$ cân tại $M$

c.Gọi $AC\cap BF=K$

$\to AK//OF(\perp BC)$

Mà $O$ là trung điểm $AB\to F$ là trung điểm $BK\to FK=FB$

Lại có: $CH//BK(\perp AB)$

$\to \dfrac{DH}{BF}=\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CD}{FK}$

$\to DH=DC$

Ta có: $AE//CD(\perp AB)$

$\to\dfrac{DH}{AE}= \dfrac{CD}{AE}=\dfrac{FC}{FE}=\dfrac{BH}{BA}$

Mà $\widehat{DHB}=\widehat{EAB}(=90^o)$

$\to \Delta BHD\sim\Delta BAE(c.g.c)$

$\to \widehat{DBH}=\widehat{EBA}$

$\to B, D, E$ thẳng hàng

d.Ta có: $\widehat{AMO}=90^o\to M\in$ đường tròn đường kính $AO$

               $\widehat{ONB}=90^o\to N\in$ đường tròn đường kính $BO$