`1)` `\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AM`$\perp BH$ tại $M$

`=>\hat{AMH}=90°`

Xét tứ giác `ACMH` có:

`\qquad \hat{ACH}=\hat{AMH}=90°`

`=>2` đỉnh `C;M` cùng nhìn cạnh `AH` dưới góc vuông 

`=>ACMH` nội tiếp 

`=>A;C;M;H` cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

$\\$

`2)` Xét `\Delta ACK` và `\Delta HCB` có:

`\qquad \hat{ACK}=\hat{HCB}=90°`

`\qquad \hat{CAK}=\hat{CHB}` (cùng phụ `\hat{HBC})`

`=>\Delta ACK`$\backsim$`\Delta HCB` (g-g)

`=>{CA}/{CH}={CK}/{CB}`

`=>CA.CB=CK. CH` (đpcm)

$\\$

`3)` Gọi `I` là trung điểm $HK$

`=>MI` là trung tuyến `\Delta MHK` vuông tại `M`

`=>MI=HI=KI=1/ 2 HK`

`=>` Đường tròn ngoại tiếp `\Delta MHK` có tâm `I` bán kính `1/ 2 HK` (*)

Vì `N\in (I; 1/ 2 HK)`  (**)

`=>\hat{HNK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>NK`$\perp AH$ tại $N$ $(1)$

$\\$

Xét `\Delta HAB` có:

$\quad HC\perp AB$

$\quad AM\perp BH$

$\quad HC$ cắt $AM$ tại $K$

`=>K` là trực tâm `\Delta HAB`

`=>BK`$\perp AH$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>B;K;N` thẳng hàng

`=>\hat{ANB}=90°`

`=>N` nằm trên nửa đường tròn `(O)` đường kính `AB` (đpcm)

`=>ON=OB=R`

`=>\Delta OBN` cân tại `O`

`=>\hat{ONB}=\hat{OBN}=\hat{CBK}`

Ta có: `\hat{CBK}+\hat{CKB}=90°` `(\Delta BCK` vuông tại $C)$

`=>\hat{ONB}+\hat{CKB}=90°`

Vì `\hat{CKB}=\hat{IKN}` (2 góc đối đỉnh)

`=>\hat{ONB}+\hat{IKN}=90°` $(3)$

$\\$

Ta có: `NI` là trung tuyến `\Delta HNK` vuông tại `N`

`=>NI=HI=KI=1/ 2 HK`

`=>\Delta INK` cân tại `I`

`=>\hat{INK}=\hat{IKN}` $(4)$

Từ `(3);(4)=>\hat{ONB}+\hat{INK}=90°`

`=>\hat{ONI}=90°`

`=>ON`$\perp IN$ (***)

Từ (*);(**);(***)`=>ON` là tiếp tuyến tại `N` của đường tròn ngoại tiếp `\Delta MHK` (đpcm)

$\\$

`4)` Gọi `E` là giao điểm của `MN` và `AB`

 Xét `\Delta OMI` và `\Delta ONI` có:

`\qquad OI` là cạnh chung

`\qquad OM=ON=R`

`\qquad MI=NI\ (=1/ 2 HK)`

`=>\Delta OMI=\Delta ONI` (c-c-c)

`=>\hat{OMI}=\hat{ONI}=90°`

`=>\hat{OMI}+\hat{ONI}=180°`

`=>OMIN` nội tiếp $(5)$

$\\$

Ta có: `\hat{ONI}=\hat{OCI}=90°`

`=>2` đỉnh `N;C` cùng nhìn cạnh `OI` dưới góc vuông 

`=>OCNI` nội tiếp `(6)`

Từ `(5);(6)=>O;M;I;N;C` cùng thuộc một đường tròn 

`=>OCNM` nội tiếp 

`=>\hat{CON}=\hat{CMN}` (cùng chắn cung `CN)`

`=>\hat{EON}=\hat{EMC}`

Ta lại có `\hat{OEN}=\hat{MEC}`

`=> \Delta EON` $\backsim$ `\Delta EMC` (g-g)

`=>{EO}/{EM}={EN}/{EC}`

`=>EM.EN=EO.EC` $(7)$

$\\$

Vẽ tiếp tuyến `E F` của nửa `(O)` $(F$ là tiếp điểm)

Xét `\Delta E FN` và `\Delta EMF` có:

`\qquad \hat{E}` chung

`\qquad \hat{E FN}=\hat{E MF}` (cùng chắn cung $NF)$

`=>\Delta E FN`$\backsim$`\Delta E MF` (g-g)

`=>{E F}/{EM}={EN}/{E F}`

`=>E F^2=EM.EN` $(8)$

Từ `(7);(8)=>EO.EC=E F^2`

`=>{E C}/{E F}={E F}/{EO}`

Ta lại có `\hat{CEF}=\hat{FEO}`

`=>\Delta CE F`$\backsim$`\Delta FEO` (c-g-c)

`=>\hat{E CF}=\hat{EFO}=90°`

`=>FC`$\perp AB$ tại $C$

Mà $DC\perp AB; D;F\in $ nửa $(O)$

`=>F≡D`

`=>E D` là tiếp tuyến tại $D$ của nửa $(O)$

Vì `E\in AB; E\in ED`

`=>E` là giao điểm của $AB$ và tiếp tuyến tại $D$ của nửa $(O)$

`=>E` cố định

Mà `E\in MN`

`=>` Khi `M` thay đổi thì đường thẳng `MN` luôn đi qua điểm `E` cố định (đpcm)