Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AND,\Delta ANH$ có:

Chung $AN$

$\widehat{AND}=\widehat{ANH}(=90^o)$

$ND=NH$

$\to\Delta AND=\Delta ANH(c.g.c)$

$\to AD=AH,\widehat{DAN}=\widehat{NAH}\to \widehat{DAH}=2\widehat{NAH}$

Tương tự chứng minh được $AE=AH, \widehat{HAE}=2\widehat{HAM}$

$\to AD=AE, \widehat{DAE}=\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=2\widehat{NAH}+2\widehat{HAM}=2\widehat{NAM}=2\cdot 90^o=180^o$

$\to D, A,E$ thẳng hàng 

$\to A$ là trung điểm $DE$

b.Xét $\Delta ADB, \Delta ABH$ có:

Chung $AB$

$\widehat{DAB}=\widehat{DAN}=\widehat{NAH}=\widehat{BAH}$

$AD=AH$

$\to \Delta ADB=\Delta AHB(c.g.c)$

$\to \widehat{BDA}=\widehat{BHA}=90^o\to BD\perp AD\to BD\perp DE$

Tương tự $CE\perp DE$

$\to BD//CE$

c.Ta có $HM\perp AC, AB\perp AC, HN\perp AB\to HM//AB, HN//AC\to HM\perp HN$

$\to HD\perp HE$

$\to \Delta DEH$ vuông tại $H$

d.Xét $\Delta AHN, \Delta AHM$ có:

$\widehat{ANH}=\widehat{AMH}(=90^o)$

Chung $AH$

$\widehat{AHN}=\widehat{HAM}$ vì $HN//AC$

$\to \Delta AHN=\Delta HAM$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AN=HM, AM=HN$

$\to AN^2+AM^2=AN^2+HN^2$

$\to MN^2=AH^2$

$\to MN=AH$

e.Trên tia đối của tia $KM$ lấy điểm $F$ sao cho $K$ là trung điểm $FM$

Xét $\Delta KMH, \Delta KFC$ có:

$KH=KC$

$\widehat{MKH}=\widehat{CKF}$

$KM=KF$

$\to \Delta KMH=\Delta KFC(c.g.c)$

$\to HM=CF, \widehat{KMH}=\widehat{KFC}\to HM//CF$

Mà $HM\perp CA\to CF\perp AC$

$\to MF^2=MC^2+CF^2=MC^2+HM^2=HC^2$

$\to MF=HC$

$\to 2KM=2KH\to KM=KH$

$\to \Delta KMH$ cân tại $K$

Tương tự $\to \Delta INB$ cân tại $I$

$\to \widehat{MKH}=180^o-2\widehat{MHK}=180^o-2\widehat{NBI}$ vì $HM//AB$

$\to \widehat{MKH}=\widehat{NIB}$

$\to NI//MK$