Đáp án:

a) $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=CM$.

Xét hai tam giác $\Delta MAB$ và $\Delta MDC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BM=CM\,\rm(cmt)\\\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\,\rm(đ^2)\\MD=MA\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta MAB=\Delta MDC$ (c-g-c).

b) $\Delta MAB=\Delta MDC$ (cmt).

$\Rightarrow AB=CD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AB//CD$ (cặp góc so le trong).

c) $AB//CD\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta DCB$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=CD\,\rm(cmt)\\\widehat{ABC}=\widehat{BCD}\,\rm(cmt)\\BC\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ABC=\Delta DCB$ (c-g-c).

d) $AB//CD\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{ADC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $E\in AB\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{BAD}$

Và $F\in CD\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{ADC}$ 

$\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{ADF}$

Xét hai tam giác $\Delta AEM$ và $\Delta MDF$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AE=DF\,\rm(gt)\\\widehat{EAD}=\widehat{ADF}\,\rm(cmt)\\MD=MA\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta AEM=\Delta MDF$ (c-g-c).

$\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{DMF}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này cùng nằm trên hai bờ mặt phẳng $AD$

$\Rightarrow \widehat{AME}$ có tia $AM$ là tia đối của tia $MD$ của $\widehat{DMF}$ và chung gốc $M$

$\Rightarrow\widehat{AME}$ đối đỉnh với $\widehat{DMF}$

$\Rightarrow \widehat{AME}$ có tia $ME$ là tia đối của tia $MF$ của $\widehat{DMF}$

$\Rightarrow EF$ đi qua điểm $M\Rightarrow M\in EF$

$\Rightarrow E,M,F$ thẳng hàng.

`a)` Xét $\triangle$ $MAB$ và $\triangle$ $MDC$ ta có $:$

$MA = MD ( gt )$

$\widehat{AMB}$ $=$ $\widehat{DMC}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$MB = MC ($ vì $M$ là trung điểm $BC )$

`=>` $\triangle$ $MAB$ $=$ $\triangle$ $MDC ( c - g - c )$

`b)` Vì $\triangle$ $MAB$ $=$ $\triangle$ $MDC ( cmt )`

`=>` AB = CD ( 2` cạnh tương ứng $)$

`=>` $\widehat{MAB}=\widehat{MDC} ( 2$ góc tương ứng

Mà $2$ góc này ở vị trí sole trong

`=>` $AB // CD ( dhnb )$

`c)` Xét $\triangle$ $ABC$ và $\triangle$ $DCB$ ta có $:$

$AB = DC ($ vì $\triangle$ $MAB$ $=$ $\triangle$ $MDC )$

$\widehat{ABM}$ $=$ $\widehat{DCM}$ $($ vì $\triangle$ $MAB$ $=$ $\triangle$ $MDC )$

$BC$ chung

`=>` $\triangle$ $ABC$ $=$ $\triangle$ $DCB ( c - g - c )$

`d)` Xét $\triangle$ $AME$ và $\triangle$ $DMF$ ta có $:$

$MA = MD ( gt )$

`\hat{MAB}=\hat{MDC} ( cmt )`

$AE = DF ( gt )$

`=>` $\triangle$ $AME$ $=$ $\triangle$ $DMF ( c - g - c )$

Ta có `:` $\widehat{M1}$ $+$ $\widehat{AMF}$ `= 180^o ( 2` góc kề bù $)$

Mà  $\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $($ vì  $\triangle$ $AME$ $=$ $\triangle$ $DMF )$

`=>` $\widehat{M2}$ $+$ $\widehat{AMF}$ `= 180^o`

`<=>` $\widehat{EFM}$ `= 180^o`

`=>` $\overline{E , M , F}$