Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta BCD$ và $\Delta BCE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\,\rm(cmt)\\BC\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta BCD=\Delta BCE$ (ch-gn).

$\Rightarrow BE=CD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow BD=CE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$

$\Rightarrow AB-BD=AC-CE$

$\Rightarrow AD=AE\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A$.

b) $\Delta BCD=\Delta BCE\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $H\in CD,H\in BE\Rightarrow\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$

$\Rightarrow \Delta BHC$ cân tại $H\Rightarrow HB=HC$.

Xét hai tam giác $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}HB=HC\,\rm(cmt)\\AB=AC\,\rm(cmt)\\AH\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABH=\Delta ACH$ (c-c-c).

$\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AH$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

$\Delta ADE$ cân tại $A\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}$.

Và $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ mà $D\in AB,E\in AC$

$\Rightarrow DE//BC$ (các cặp góc đồng vị).

d) $BE\,\bot\,AC\Rightarrow BE$ là đường cao của $\Delta ABC$.

$CD\,\bot\,AB\Rightarrow CD$ là đường cao của $\Delta ABC$.

$BE\cap CD=H\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AH$ đi qua trực tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AH$ là đường cao của $\Delta ABC$.

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$.

$\Rightarrow AH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AH$ đi qua trung điểm của $BC$.

Mà $M$ là trung điểm của $BC$.

$\Rightarrow AM$ là đường trung trực của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AM$ là đường cao của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AM$ đi qua trực tâm của $H$ của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow H\in AM\Rightarrow A,H,M$ thẳng hàng.