Đáp án+Giải thích các bước giải:

Đáp án:

a) $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ mà $I\in AC$

$\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{IAD}\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{IAD}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta AID$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{BAD}=\widehat{IAD}\,\rm(cmt)\\AD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta AID$ (ch-gn).

b) $\Delta ABD=\Delta AID\Rightarrow BD=ID$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác $\Delta DIC$ vuông tại $I$

$\Rightarrow DC$ là cạnh huyền và $DI$ là cạnh góc vuông. 

$\Rightarrow DI<DC$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà $BD=ID$ nên $BD<DC$.

c) Xét hai tam giác vuông $\Delta BDE$ và $\Delta DCI$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BD=ID\,\rm(cmt)\\\widehat{BDE}=\widehat{DCI}\,\rm(đ^2)\end{array}\!\right\}\Delta BDE=\Delta DCI$ (g-c-g).

$\Rightarrow BE=CI$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABD=\Delta AID\Rightarrow AB=AI$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow AB+BE=AI+CI$

$\Rightarrow AE=AC\Rightarrow\Delta ACE$ cân.

$CK\,\bot\,AD\Rightarrow AK\,\bot\,CK\Rightarrow AK\,\bot\,CE$.

$\Rightarrow AK$ là đường cao của $\Delta ACE$.

$\Delta ACE$ cân tại $A$ có đường cao $AK$

$\Rightarrow AK$ là đường trung tuyến của $\Delta ACE$.

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $CE$.

d) $\Delta ACE$ cân tại $A\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{AEC}$.

$AB=AI\Rightarrow\Delta ABI$ cân tại $A\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{AIB}$.

Mà $B\in AE,I\in AC$

$\Rightarrow BI//EC$ (các cặp góc đồng vị).

e) $\Delta ABC$ vuông tại $B\Rightarrow AB\,\bot\,BC$.

$\Rightarrow BC$ là đường cao của $\Delta ACE$.

$BC\cap AK=D\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta ACE$.

Mà $DI\,\bot\,AC$ đi qua trực tâm $D$.

$\Rightarrow DI$ là đường cao của $\Delta ACE$.

$\Rightarrow$ Đường cao $DI$ đi qua đỉnh $E$

$\Rightarrow EI$ là đường cao của $\Delta ACE$.

$\Rightarrow EI$ đi qua trực tâm $D$

$\Rightarrow D\in EI\Rightarrow E,D,I$ thẳng hàng.