Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to BF\perp CF, BE\perp CE$

$\to BF\perp AC, CE\perp AB$

Mà $BF\cap CE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC$

$\to AD\perp BC$

Ta có:

$\widehat{HEB}=\widehat{HDB}=90^o\to HEBD$ nội tiếp

$\to \widehat{HED}=\widehat{HBD}=\widehat{FBC}=\widehat{FEC}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{FED}$

$\to \widehat{FOC}=2\widehat{FEC}=\widehat{FED}$

$\to ODEF$ nội tiếp

b.Ta có $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Gọi $G$ là trung điểm $AH$

$\to G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $AEHF$

Ta có:

$\widehat{GFA}=\widehat{GAF}=\widehat{HAF}=\widehat{HEF}=\widehat{FEC}=\widehat{FBC}=\widehat{FBO}=\widehat{OFB}$

$\to \widehat{GFO}=\widehat{GFB}+\widehat{BFO}=\widehat{GFB}+\widehat{GFA}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to GF$ là tiếp tuyến của $(O)$

Tương tự $GE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to$Tiếp tuyến tại $E, F$ của $(O)$ cắt nhau tại $1$ điểm trên $AH$

c.Ta có $EFOD$ nội tiếp

$\to \widehat{KED}=\widehat{KOF},\widehat{KDE}=\widehat{KFO}$

$\to\Delta KED\sim\Delta KOF(g.g)$

$\to \dfrac{KE}{KO}=\dfrac{KD}{KF}$

$\to KE.KF=KD.KO$

Tương tự $BCEF$ nội tiếp, $EF\cap BC=K$

$\to KE.KF=KB.KC$

$\to KD.KO=KB.KC$

$\to KD.KO=KB.(KD+DC)$

$\to KD.KO=KB.KD+KB.DC$

$\to KD.KO-KB.KD=KB.CD$

$\to KD(KO-KB)=KB.CD$

$\to KD.OB=KB.CD$

$\to KD.OC=(KD-BD).CD$

$\to KD.OC=KD.CD-DB.DC$

$\to DB.DC=DK.DC-DK.CO$

$\to DB.DC=DK(DC-CO)$

$\to DB.DC=DK.DO$

Ta có $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}=90^o,\widehat{HBD}=90^o-\widehat{BHD}=90^o-\widehat{AHF}=\widehat{HAF}=\widehat{DAC}$

$\to \Delta DBH\sim\Delta DAC(g.g)$

$\to \dfrac{DB}{DA}=\dfrac{DH}{DC}$

$\to DB.DC=DH.DA$

$\to DK.DO=DH.DA$

$\to \dfrac{DH}{DK}=\dfrac{DO}{DA}$

Mà $\widehat{ADK}=\widehat{HDO}(=90^o)$

$\to \Delta ADK\sim\Delta ODH(c.g.c)$

$\to \widehat{HOD}=\widehat{KAD}$

$\to OH\perp AK$