`a)` Ta có:

`\qquad \hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AD`$\perp CB$ tại $D$

`=>\hat{ADC}=90°`

`\qquad \hat{AHC}=90°` (do $AH\perp OC$)

`=>\hat{ADC}=\hat{AHC}=90°`

`=>AHDC` có hai đỉnh kề nhau $D;H$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc vuông

`=>AHDC` nội tiếp đường tròn đường kính $AC$, với tâm $S$ là trung điểm $AC$

$\\$

`b)` $∆ABC$ vuông tại $A$ có $AB=AC$ (gt)

`=>∆ABC` vuông cân tại $A$

`=>\hat{ABC}=45°`

`=>\hat{OBD}=45°`

$\\$

Vì $OB=OD$ bán kính $(O)$

`=>∆OBD` cân tại $O$

`=>\hat{ODB}=\hat{OBD}=45°`

`=>\hat{BOD}=180°-(45°+45°)=90°`

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ có $AD\perp CB$

`=>AC^2=CD.CB` (hệ thức lượng)

Xét $∆ACO$ có $AH\perp OC$

`=>AC^2=CH.CO` (hệ thức lượng)

`=>CD.CB=CH.CO`

`=>{CD}/{CO}={CH}/{CB}`

$\\$

Xét $∆CDH$ và $∆COB$ có:

`\qquad \hat{C}` chung

`\qquad {CD}/{CO}={CH}/{CB}` (c/m trên)

`=>∆CDH∽∆COB` (c-g-c)

`=>\hat{CHD}=\hat{CBO}`

`=>OBDH` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{DHB}=\hat{DOB}=90°` (cùng chắn cung $DB$)

`=>HD`$\perp HB$

$\\$

`c)` 

$\quad ∆ABC$ vuông cân tại $A$ (đã c/m)

`=>\hat{ACB}=45°=>\hat{ACD}=45°`

$\quad ∆ACD$ vuông tại $D$ có `\hat{ACD}=45°`

`=>∆ACD` vuông cân tại $D$

`=>\hat{CAD}=45°`

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{DHB}=90°` (c/m trên)

`=>\hat{BHE}=90°-\hat{DHE}=\hat{CHD}`

`\qquad \hat{CHD}=\hat{CAD}=45°` (do $AHDC$ nội tiếp)

$\\$

`\qquad \hat{FHA}=\hat{BHE}` (hai góc đối đỉnh)

`=\hat{CAD}=45°=\hat{ACD}=\hat{FCE}`

$\\$

Tứ giác $CEHF$ có: `\hat{FHA}=\hat{FCE}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>CEHF` nội tiếp 

`=>\hat{CFE}=\hat{CHE}=90°` (cùng chắn cung $CE$)

`=>EF`$\perp AC$

$\\$

Xét $∆ACE$ có:

`\qquad OC`$\perp AE$

$\quad EF\perp AC$

$\quad AD\perp CE$

`=>OC;EF;AD` đồng quy (3 đường cao của tam giác đồng quy tại $1$ điểm)