Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras đảo ta có:

$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25$

$BC^2=5^2=25$

$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2$

$\Rightarrow\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AB\,\bot\,AC\Rightarrow\widehat{BAC}=90^\circ$.

Mà $M\in AC\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=90^\circ$.

$M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AM=CM$.

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta CDM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AM=CM\,\rm(cmt)\\\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\,(đ^2)\\MB=MD\,\rm(gt)\end{array}\!\right\}\Delta ABM=\Delta CDM$ (c-g-c).

$\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MCD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BAM}=90^\circ$ nên $\widehat{MCD}=90^\circ$

$M\in AC\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{MCD}=90^\circ$

$\Rightarrow AC\,\bot\,CD$.

b) $MB=MD\Rightarrow M$ là trung điểm của $BD$

$\Rightarrow CM$ là đường trung tuyến của $\Delta BCD$.

Mà $M\in AC\Rightarrow AC$ là đường trung tuyến của $\Delta BCD$.

$N$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow BN$ là đường trung tuyến của $\Delta BCD$.

Mà $BN\cap AC=H\Rightarrow H$ là trọng tâm của $\Delta BCD$.

$K$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow DK$ là đường trung tuyến của $\Delta BCD$.

$\Rightarrow DK$ đi qua trọng tâm $H$ của $\Delta BCD$

$\Rightarrow H\in HK\Rightarrow K,H,D$ thẳng hàng.

`a)` Ta có `: AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25`

`BC^2 = 5^2 = 25`

`=> AB^2 + AC^2 = BC^2 ( = 25 )`

`=>` $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ($ Định lý Pitago đảo $)$

Xét $\triangle$ $ABM$ và $\triangle$ $CDM$ ta có $:$

$BM = DM ( gt )$

$\widehat{M1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`MA = MC ($ vì $M$ là trung điểm $AC )$

`=>` $\triangle$ $ABM$ $=$ $\triangle$ $CDM ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{DCM}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $\widehat{BAM}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$
`=>` $\widehat{DCM}$ $= 90^o$

`=> AC` $\bot$ $CD$

`b)` Vì $BM = MD ( gt )$

`=> M` là trung điểm $BD$

Xét $\triangle$ $BCD$ ta có $:$

$BN$ là trung tuyến $( N$ là trung điểm $CD )$

$CM$ là trung tuyến $( M$ là trung điểm $BD )$

Mà $BN$ $\cap$ $CM = {H}$

`=> H` là trọng tâm của $\triangle$ $BCD$ 

Mà $DK$ là trung tuyến của $\triangle$ $BCD ( K$ là trung điểm $BC )$
`=>` $\overline{K,H,D}$