Xin lỗi tus nếu chữ tôi xấu và khó nhìn ..

~$\text{Fang}$

Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$AC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2+AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2+AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{12^2+5^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{169}$

$\Rightarrow AC=13(cm)$.

b) $\Delta ABC$ vuông tại $B\Rightarrow AB\,\bot\, BE$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABE$ và $\Delta BDE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BD=BA\,\rm(gt)\\BE\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABE=\Delta BDE$ (c-g-c).

$\Rightarrow AE=DE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta EAD$ cân.

c) Ta có $EC=BC-BE=12-4=8(cm)$.
$\dfrac{EC}{BC}=\dfrac8{12}=\dfrac23$
$BD=BA\Rightarrow BC$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$.
Vì $E\in$ đường trung tuyến $BC$ và $EC = \dfrac23BC$
$\Rightarrow E$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$.

$\Rightarrow AE$ đi qua trọng tâm $E$ mà $AE\cap DC=K$

$\Rightarrow AK$ đi qua trọng tâm $E$

$\Rightarrow AK$ là đường trung tuyến của $\Delta ABD$

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $DC$.