Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A\to AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=15$

Vì $BD$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac35$

$\to \dfrac{DA}{DA+DC}=\dfrac3{3+5}$

$\to \dfrac{DA}{AC}=\dfrac38$

$\to AD=\dfrac38AC$

$\to AD=\dfrac{15}{2}$

$\to DC=AC-AD= \dfrac{25}2$

b.Xét $\Delta ABD, \Delta HBC$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{NBC}$ vì $BN$ là phân giác $\hat B$

$\widehat{BAD}=\widehat{BNC}(=90^o)$

$\to \Delta BAD\sim\Delta BNC(g.g)$

c.Xét $\Delta MNB,\Delta MAC$ có:

Chung $\hat M$

$\widehat{MNB}=\widehat{MAC}(=90^o)$

$\to \Delta MBN\sim\Delta MCA(g.g)$

$\to \dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MN}{MA}$

$\to MA.MB=MN.MC$

d.Ta có $BN\perp CM, CA\perp BM\to D$ là trực tâm $\Delta MBC$

Gọi $MD\cap BC=E$

$\to MD\perp BC$

Xét $\Delta BDE, \Delta BNC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BED}=\widehat{BNC}(=90^o)$

$\to\Delta BDE\sim\Delta BCN(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BE}{BN}$

$\to BD.BN=BE.BC$

Tương tự $CA.CD=CE.CB$

$\to BD.BN+AC.DC=BE.BC+CE.CB=BC^2$