Đáp án:

a) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=CM$.

$\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\BM=CM\,\rm(cmt)\\AM\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABM=\Delta ACM$ (c-c-c).

$\Rightarrow ME=MF$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{AME}=\widehat{AMF}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{AMB}-\widehat{AME}=\widehat{AMC}-\widehat{AMF}$ 

$\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{CMF}$

Xét hai tam giác vuông $\Delta BME$ và $\Delta CMF$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}ME=MF\,\rm(cmt)\\\widehat{BME}=\widehat{CMF}\,\rm(cmt)\\BM=CM\rm\,(cmt)\end{array}\!\right\}\Delta BME=\Delta CMF$ (c-g-c).

b) $\Delta BME=\Delta CMF\Rightarrow BE=CF$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB=AC$ nên $AB-BE=AC-CF$

$\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF$ cân tại $A$

$\Delta AEF$ có đường trung tuyến $AM$

$\Rightarrow AM$ đồng thời là đường trung trực của $\Delta AEF$

$\Rightarrow AM$ là đường trung trực của $EF$.

`a)` Xét $\triangle$ $BME$ và $\triangle$ $CMF$ ta có $:$ 

$\widehat{BEM}$ $=$ $\widehat{CFM}$ $= 90^o ($ vì $ME$ $\bot$ $AB ; MF$ $\bot$ $AC )$

$BM = MC ($ vì $AM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC )$

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ $($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>` $\triangle$ $BME$ $=$ $\triangle$ $CMF ( ch - gn )$

`=>` $\begin{cases} EB=FC\\ME=MF \end{cases}$ $( 2$ cạnh tương ứng $)$

`b)` Ta có $: EB = FC ( cmt )$
Mà $AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=> AE = AF`

`=> A in` trung trực của $EF$

Vì `M in` trung trực của $EF ( ME = MF )$

`=> AM in` trung trực của $EF$