Câu 1:

$a\big)$

Vì $\widehat{CEB}=\widehat{CFB}=90^0$

Mà $2$ góc này cùng chắn $BC$

$\to$ Tứ giác $BFEC$ nội tiếp

$\to \widehat{EFC}=\widehat{EBC}$

Mà $\widehat{EBC}=\widehat{MNC}=\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MC}$

$\to \widehat{EFC}=\widehat{MNC}$

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

$\to EF//MN$

Vẽ tiếp tuyến $At$ của $(O)$

$\to At\perp AO$ và $\widehat{tAC}=\widehat{ABC}=\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}$

Mặt khác $\left(BFEC\right)\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ do cùng bù $\widehat{FEC}$

$\to \widehat{AEF}=\widehat{tAC}$

Mà $2$ góc này ở vị trí so le trong nên $At//EF$

Mà $At\perp AO\to AO\perp EF$

$b\big)$

Gọi $G$ là chân đường cao từ $A$ của $\Delta ABC$

Vì $\begin{cases} \widehat{BGH}=\widehat{BEC}=90^0\\ \widehat{EBC}\text{ chung} \end{cases}$

$\to \Delta BGH\sim \Delta BEC\left(g.g\right)$

$\to \frac{BH}{BC}=\frac{BG}{BE}\to BH\cdot BE=BG\cdot BC\left(1\right)$

Vì $\begin{cases} \widehat{CGH}=\widehat{CFB}=90^0\\ \widehat{FCB}\text{ chung} \end{cases}$

$\to \Delta CGH\sim \Delta CFB\left(g.g\right)$

$\to \frac{CH}{BC}=\frac{CG}{CF}\to CH\cdot CF=CG\cdot BC\left(2\right)$

$\left(1\right)\left(2\right)\to CH\cdot CF+BH\cdot BE=CG\cdot BC+BG\cdot BC=BC\left(BG+CG\right)=BC^2\left(\text{QED}\right)$

Câu 2:

Kẻ $BH\perp AG,CK\perp AG\left(H,K\in AG\right)$

$\dfrac{S_{AOB}}{S_{AGB}}=\dfrac{\frac{1}{2}AO\cdot HB}{\frac{1}{2}AG\cdot HB}=\dfrac{AO}{AG}$

$\dfrac{S_{AOC}}{S_{AGC}}=\dfrac{\frac{1}{2}AO\cdot CK}{\frac{1}{2}AG\cdot CK}=\dfrac{AO}{AG}$

$\to \dfrac{AO}{AG}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{AGB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{AGC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{AGB}+S_{AGC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{ABC}}$

Chứng minh tương tự: $\begin{cases}\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{S_{AOB}+S_{BOC}}{S_{ABC}}\\
\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}} \end{cases}$

Cộng vế theo vế:

$\to \dfrac{AO}{AG}+\dfrac{BO}{BE}+\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{2\left(S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}\right)}{S_{ABC}}=\dfrac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\left(\text{QED}\right)$