Giải thích các bước giải:

a.Vì $D, E\in$ đường tròn đường kính $BC\to CD\perp BD, BE\perp CE\to CD\perp AB, BE\perp AC$

         $BE\cap CD=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC=K$

b.Xét $\Delta AEB,\Delta ACD$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ACD(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}$

$\to AB\cdot AD=AC\cdot AE$

c.Gọi $I$ là trung điểm $AH$

Vì $\Delta ADH$ vuông tại $D\to ID=IA=IH=\dfrac12AH$

Vì $ID=IH\to I\in$ trung trực $DH$

$\to$Đường trung trực của $DH$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AH$

d.Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o$

$\to ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Vì $I$ là trung điểm $AH\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ADHE$

$\to \widehat{IEH}=\widehat{IHE}=\widehat{EHA}=\widehat{ADE}=\widehat{ECB}=\widehat{ECO}=\widehat{OEC}$

$\to \widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{BEO}=\widehat{OEC}+\widehat{BEO}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to IE\perp OE$

Tương tự $ID\perp DO$

$\to \widehat{IEO}=\widehat{IDO}=90^o$

$\to OEID$ nội tiếp đường tròn đường kính $IO(1)$

Ta có: $\widehat{BDH}=\widehat{BKH}=90^o\to BDHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$

$\to \widehat{HDK}=\widehat{HBK}=\widehat{EBC}=\widehat{EDC}$

$\to DC$ là phân giác $\widehat{EDK}$

$\to\widehat{EOC}=2\widehat{EDC}=\widehat{EDK}$

$\to EDKO$ nội tiếp $(2)$

Từ $(1), (2)$

$\to I, D, O, E$ cùng thuộc một đường tròn

      $D, E, O, K$ cùng thuộc một đường tròn

$\to I, E, O, K, D$ cùng thuộc một đường tròn

$\to OEIK$ nội tiếp