Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AEC, \Delta AFC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ACE}=\widehat{AFC}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta ACE\sim\Delta AFC(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AE}{AC}$

$\to AC^2=AE.AF$

b.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

            $I$ là trung điểm $EF\to OI\perp EF$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{AIO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to A, B, I, O, C\in$ đường tròn đường kính $AO$

c.Ta có $EM\perp OB\to EM//AB$

Mà $ABIOC$ nội tiếp

$\to \widehat{MCI}=\widehat{BCI}=\widehat{BAI}=\widehat{MEI}$

$\to MECI$ nội tiếp

$\to \widehat{IMC}=\widehat{IEC}=\widehat{CEF}=\widehat{CBF}$

$\to MI//BF$

$\to MIFB$ là hình thang

d.Ta có $OA=R\sqrt{2}=OB\sqrt{2}=OC\sqrt{2}$

$\to \Delta AOB,\Delta AOC$ vuông cân tại $B, C$

$\to ABOC$ là hình vuông

$\to S_{AOBC}=OC^2=R^2, \widehat{BOC}=90^o$

$\to S_{\text{cung } BOC}=\dfrac{90^o}{360^o}\cdot \pi R^2=\dfrac14\pi R^2$

$\to S_{\text{cần tìm}}=S_{AOBC}-S_{\text{cung } BOC}=R^2-\dfrac14\pi R^2$