Đáp án:

 Câu 1 . bn nói vậy chắc bt làm rùi

Hướng làm : 

Đặt `a^2 + 4a + 2021 = k^2 (k in Z)`

`<=> k^2 - (a^2 + 4a + 4) = 2017`

`<=> k^2 - (a+  2)^2 = 2017`

`<=> (k - a - 2)(k + a + 2) = 2017`

Lập bảng : 

....

Câu 2 :

Ta có

`∑a^2 + 3 = ∑a^2 + 3∑ab = ∑((a + b)(b + c))`

`∑a - abc = (∑ab)(∑a) - abc = (a + b)(b + c)(c + a)`

Do đó : 

`B = (∑a^2 + 3)/(∑a - abc) = (∑((a + b)(b + c)))/((a + b)(b + c)(c + a)) = ∑1/(a + b)`

Không mất tính tổng quát giả sử `c = max{a,b,c}`

`-> (a + b)^2 = (a + b)(a + b) ≤ (c + c)(a + b) = 2c(a + b) ≤ 2∑ab = 2`

`-> a + b < 2`

Dễ dàng cm được `1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) <=> ∑ab = 1`

`1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) = (a + b)  - [b^2(a + b)]/(b^2 + 1) ≥ (a + b) - [b^2(a + b)]/(2b) = (a+  b) - [b(a+ b)]/2`

tương tự `-> 1/(a + c) ≥ (a + b) - [a(a + b)]/2`

`-> B = ∑1/(a + b) ≥ 1/(a + b) + 2(a + b) - [a(a + b) + b(a + b)]/2 = 1/(a+  b)  + [(a + b)(4 - a - b)]/2`

Đặt `a + b = x (x < 2)` , ta có

`B = 1/x + (x(4 - x))/2 = [(x - 1)^2(2 - x)]/(2x) + 5/2 ≥ 5/2`

Dấu "=" xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0,1,1)`

Vậy `...`

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

Câu 1:

`a=2006` hoặc `a=-1010`

Câu 2:

`P=\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}>=5/2` 

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

Đặt: 

`A=a^2+4a+2021=k^2` `(k\in NN)`

`=>(a+2)^2-k^2=-2017`

`<=>(a+2+k)(a+2-k)=-2017`

`<=>` `a=2006` hoặc `a=-1010`

Câu 2:

Đặt: `a+b+c=p`

`ab+bc+ca=q`

`abc=r`

Ta có:

`\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}`

`+)` Xét `p>=2`

Ta có:

`\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{p^2+1}{p}>=5/2=\frac{(2p-1)(p-2)}{2p}>=0`

`=>P>=5/2`

`+)` Xét `p<2`

`=>r>=\frac{4q-p^2}{9}=\frac{1}{9}p(2-p)(p+2)`

Áp dụng bất đẳng thức Schur, ta có:

`\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{(2-p)(5p^2-8p+9)}{2p(p^2+5)}`

`=\frac{(2-p)[5(p-4/5)^2+29/5]}{2p(p^2+5)}>0`

`=>P>5/2`

Vậy `P>=5/2`

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1` `;` `c=0` và các hoán vị