`a)` $BD$ là phân giác `\hat{ABC}` (gt)

`=>\hat{ABD}=1/ 2 \hat{ABC}`

$\quad CE$ là phân giác `\hat{ACB}` (gt)

`=>\hat{ACE}=1/ 2 \hat{ACB}`

Mà  `\hat{ABC}=\hat{ACB}` (do $∆ABC$ cân tại $A$)

`=>\hat{ABD}=\hat{ACE}`

$\\$

Xét $∆ABD$ và $∆ACE$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad AB=AC` (do $∆ABC$ cân tại $A$)

`\qquad \hat{ABD}=\hat{ACE}` (c/m trên)

`=>∆ABD=∆ACE` (g-c-g)

`=>AD=AE` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

`b)` $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`

`=>\hat{CBD}=1/ 2 \hat{ABC}`

$\quad CE$ là phân giác `\hat{ACB}`

`=>\hat{BCE}=1/ 2 \hat{ACB}`

Mà  `\hat{ABC}=\hat{ACB}` (do $∆ABC$ cân tại $A$)

`=>\hat{CBD}=\hat{BCE}`

`=>\hat{CBI}=\hat{BCI}`

`=>∆IBC` cân tại $I$

`=>IB=IC`

$\\$

Ta có: $BD=CE$ (do $∆ABD=∆ACE$)

`=>IB+ID=IC+IE`

`=>ID=IE` (do $IB=IC$)

`=>∆IED` cân tại $I$

$\\$

`c)` Vì $AD=AE$ (câu a)

`=>∆ADE` cân tại $A$

`=>\hat{ADE}=\hat{AED}={180°-\hat{DAE}}/2={180°-\hat{BAC}}/2`

$\\$

$\quad ∆ABC$ cân tại $A$

`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}={180°-\hat{BAC}}/2`

`=>\hat{AED}=\hat{ABC}`

Mà `\hat{AED};\hat{ABC}` ở vị trí đồng vị

`=>ED`//$BC$

$\\$

`d)` $BD$//$MC$ (gt)

`=>\hat{CBD}=\hat{BCM}` (hai góc so le trong)

$\quad CE$//$MB$ (gt)

`=>\hat{BCE}=\hat{CBM}` (hai góc so le trong)

Mà `\hat{CBD}=\hat{BCE}` (đã c/m)

`=>\hat{BCM}=\hat{CBM}`

`=>∆MBC` cân tại $M$

`=>MB=MC`

$\\$

Xét $∆ABM$ và $∆ACM$ có:

`\qquad AM` là cạnh chung 

`\qquad AB=AC` ($∆ABC$ cân tại $A$)

`\qquad MB=MC` (c/m trên)

`=>∆ABM=∆ACM` (c-c-c)

`=>\hat{BAM}=\hat{CAM}` (hai góc tương ứng)

Mà tia `AM` nằm giữa hai tia $AB;AC$

`=>AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}` $(1)$

$\\$

Xét $∆ABI$ và $∆ACI$ có:

`\qquad AI` là cạnh chung

`\qquad AB=AC`

`\qquad IB=IC` (do $∆IBC$ cân tại $I$)

`=>∆ABI=∆ACI` (c-c-c)

`=>\hat{BAI}=\hat{CAI}` (hai góc tương ứng)

Mà tia `AI` nằm giữa hai tia $AB;AC$

`=>AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>A;I;M` cùng thuộc tia phân giác của `\hat{BAC}`

`=>A;I;M` thẳng hàng 

a) +Ta có: ^ABC=^ACB (vì ∆ ABC cân tại A)

     =>^ABD=^ACE=1/2^ABC=1/2^ACB

    +Xét ∆ ABD và ∆ CAE:

    AB=AC (vì tam giác ABC cân tại A)

    ^A: chung

    ^ABD=^ACE (cmt)

     =>∆ABD=∆ACE (g.c.g)

     =>AD=AE (2 cạnh tương ứng)

b) + Ta có: ^ABD=^DBC=1/2^ABC

                  ^ACE=^ECB=1/2^ACB

        Mà: ^ABD=^ACE (cm câu a)

               ^ACB=^ABC (vì ∆ABC cân tại A)

       =>^DBC=^ECB=> ∆IBC cân tại I

    + Xét ∆EIB và ∆DIC:

    ^EBI=^DCI (cm câu a)

    IB=IC (vì ∆IBC cân tại I)

    ^EIB=^DIC (2 góc đối đỉnh)

    =>∆EIB=∆DIC (g.c.g)

    =>EI=DI (2 cạnh tương ứng)=> ∆IED cân tại I

c)  +Ta có: AE=AD (cm câu b)=> ∆AED cân tại A

     =>^AED=^ADE=180°^-^EAD/2 (1)

     + ∆ABC cân tại A (gt)

     =>^ABC=^ACB=180°-^BAC/2 (2)

     Mà ^EAD=^BAC (3)

    Từ (1),(2),(3)=> ^AED=^ABC mà 2 góc ở vị trí đồng vị

    =>ED//BC