Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^0}\\
\widehat Cchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BAC = \Delta AHC\left( {g.g} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0}\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 50cm
\end{array}$

Lại có:

$BD$ là phân giác $\widehat {ABC}$ của $\Delta ABC$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{5}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{8}{5}\\
 \Rightarrow DC = AC.\dfrac{5}{8} = 25cm\\
 \Rightarrow DA = AC - DC = 15cm
\end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD;\widehat A = {90^0}\\
 \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = 15\sqrt 5 cm
\end{array}$

Vậy $BD = 15\sqrt 5 cm;DC = 25cm$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DAB} = \widehat {IHB} = {90^0}\\
\widehat {ABD} = \widehat {HBI}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBI\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{AD}}{{HI}} = \dfrac{{BD}}{{BI}}\\
\widehat {ADB} = \widehat {HIB}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD.HI = AD.BI\\
\widehat {ADB} = \widehat {AID}\left( {Do:\widehat {AID} = \widehat {HIB}\left( {dd} \right)} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Rightarrow BD.HI = AD.BI;\Delta ADI$ cân ở $A$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow BD.HI = AD.BI;AD = AI\\
 \Rightarrow BD.HI = AI.BI;AD = AI
\end{array}$

d) Ta có:

$BI$ là phân giác của tam giác $ABH$

$ \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{BH}}{{BA}}\left( 1 \right)$

Mà lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{AB}}{{CB}}\left( 2 \right)
\end{array}$

Mặt khác có: $\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\left( 3 \right)$

Nên từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{DA}}{{DC}}$