Giải thích các bước giải:

a) `H; K` lần lượt là hình chiếu của `I` trên `MN` và `MP`

`=> IH⊥MN; IK⊥MP`

Xét `ΔNIH` và `ΔPIK` có:

`\hat{NHI}=\hat{PKI}=90^0 (IH⊥MN; IK⊥MP)`

`IN=IP (I` là trung điểm của `NP)`

`\hat{INH}=\hat{IPK} (ΔMNP` cân tại `M)`

`=> ΔNIH=ΔPIK` (cạnh huyền-góc nhọn)

b) `IK⊥MP => ΔIKP` vuông tại `K`

`=> KP>IP (IP` là cạnh huyền)

c) `ΔNIH=ΔPIK => NH=PK`

mà `MN=MP (ΔMNP` cân tại `M)`

`=> MN-NH=MP-PK => MH=MK`

`=> ΔMHK` cân tại `M`

`ΔMNP` cân tại `M` có `MI` là đường trung tuyến (`I` là trung điểm của `NP`)

`=> MI` là đường phân giác của `\hat{NMP}`

`=> MI` là đường phân giác của `\hat{HMK}`

`ΔMHK` cân tại `M` có `MI` là đường phân giác của `\hat{HMK}`

`=> MI` là đường trung trực của `HK`

d) `ΔNIH=ΔPIK => IH=IK`

Xét `ΔIHE` và `ΔIKF` có:

`\hat{IHE}=\hat{IKE}=90^0`

`IH=IK`

`\hat{HIE}=\hat{KIF}` (đối đỉnh)

`=> ΔIHE=ΔIKF` (g.c.g) `=> HE=KF`

mà `MH=MK => MH+HE=MK+KF => ME=MF`

`=> ΔMEF` cân tại `M => \hat{MEF}=\hat{MFE}=\frac{180^0-\hat{EMF}}{2}`

`ΔMHK` cân tại `M`

`=> \hat{MHK}=\hat{MKH}=\frac{180^0-\hat{HMK}}{2}=\frac{180^0-\hat{EMF}}{2}`

`=> \hat{MEF}=\hat{MHK}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `HK` và `EF`

`=>` $HK//EF$