`1)` `BE` là phân giác của `\hat{ABF}`

`=>\hat{ABD}=\hat{CBD}`

`=>sđ\stackrel\frown{AD}=sđ\stackrel\frown{CD}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

`=>AD=CD` (hai dây chắn hai cung bằng nhau)

Mà `AO=CO=R`

`=>OD` là đường trung trực của `AC`

`=>OD`$\perp AC$ $(1)$

$\\$

Ta có: `\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>BC`$\perp AC$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>OD`//$BC$ (đpcm)

$\\$

`2)` Ta có: `\hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AD`$\perp BE$ tại $D$

Xét `\Delta ABE` vuông tại `A` có $AD\perp BE$

`=>AB^2=BD.BE` (hệ thức lượng trong `\Delta ` vuông) $(3)$

$\\$

Xét `\Delta ABF` vuông tại `A` có $AC\perp BF$ 

`=>AB^2=BC.BF` (hệ thức lượng trong `\Delta ` vuông) $(4)$

Từ `(3);(4)=>BD.BE=BC.BF` (đpcm)

$\\$

`3)` `ABCD` nội tiếp `(O)`

`=>\hat{BDC}=\hat{BAC}`  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `BC)`

Vì `\hat{BAC}=\hat{BFA}=\hat{CFE}` (cùng phụ `\hat{ABC})`

`=>\hat{BDC}=\hat{CFE}`

`=>CDE F` nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) (đpcm)

$\\$

`4)` `AOCD` là hình thoi

`<=>AD=DC=OA=OC=R`

Xét `\Delta OAD` có `OA=OD=AD=R`

`=>\Delta OAD` đều

`=>\hat{AOD}=60°`

Mà `OD`//$BC$ (câu 1)

`=>\hat{ABC}=\hat{AOD}=60°` (hai góc đồng vị)

$\\$

`AB` là đường kính của `(O;R)=>AB=2R`

Xét `\Delta ABC` vuông tại `C`

`=>sin\hat{ABC}=sin60°={AC}/{AB}`

`=>AC=AB.sin60°=2R. \sqrt{3}/2 =R\sqrt{3}`

Diện tích hình thoi `AOCD` là:

`S_{AOCD}=1/ 2 OD.AC`

`=1/ 2 . R . R\sqrt{3}={R^2\sqrt{3}}/2` 

Vậy `AOCD` là hình thoi khi `\hat{ABC}=60°` và `S_{AOCD}={R^2\sqrt{3}}/2` (đvdt)

____

(`S_{\text{hình thoi}}=1/ 2` tích 2 đường chéo)