Sửa đề $BH;CK$ là 2 đường cao (bỏ cắt nhau tại $H)$

______

`a)` $BH;CK$ là hai đường cao của $∆ABC$ 

`=>BH`$\perp AC$ tại $H$

`=>\hat{BHC}=90°`

$\\$

`\qquad CK`$\perp AB$ tại $K$

`=>\hat{BKC}=90°`

`=>\hat{BHC}=\hat{BKC}=90°`

`=>`Tứ giác $BKHC$ có hai đỉnh kề nhau $H;K$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông 

`=>BKHC` nội tiếp 

`=>\hat{IKB}=\hat{ICH}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

Xét $∆IKB$ và $∆ICH$ có:

`\qquad \hat{I}` chung

`\qquad \hat{IKB}=\hat{ICH}` (c/m trên)

`=>∆IKB∽∆ICH` (g-g)

`=>{IK}/{IC}={IB}/{IH}`

`=>IK.IH=IB.IC` $(1)$

$\\$

Xét $∆IMB$ và $∆ICM$ có:

`\qquad \hat{I}` chung

`\qquad \hat{IMB}=\hat{ICM}` (cùng chắn cung $BM$)

`=>∆IMB∽∆ICM` (g-g)

`=>{IM}/{IC}={IB}/{IM}`

`=>IM^2=IB.IC` $(2)$

Từ `(1);(2)=>IM^2=IK.IH`

$\\$

`b)` Vì `IM^2=IK.IH` (câu b)

`=>{IK}/{IM}={IM}/{IH}`

Xét $∆IKM$ và $∆IMH$ có:

`\qquad \hat{I}` chung

`\qquad {IK}/{IM}={IM}/{IH}` (c/m trên)

`=>∆IKM∽∆IMH` (c-g-c)

$\\$

`c)` $EQ$//$IH$ (gt)

`=>\hat{KEQ}+\hat{EKH}=180°` $(3)$

`\qquad ` (hai góc trong cùng phía bù nhau) 

$\\$

`\hat{KEQ}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MCQ}` (góc nội tiếp chắn  $\stackrel\frown{MCQ}$)

`\hat{IMH}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MEQ}` (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

Mà:

`\qquad 1/ 2 sđ\stackrel\frown{MCQ}+1/ 2 sđ\stackrel\frown{MEQ}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{MCQ}+sđ\stackrel\frown{MEQ})=1/ 2 .360°=180°`

`=>\hat{KEQ}+\hat{IMH}=180°` $(4)$

Từ `(3);(4)=>\hat{EKH}=\hat{IMH}`

$\\$

Vì `∆IKM∽∆IMH` (c/m trên)

`=>\hat{IKM}=\hat{IMH}`

$\\$

`=>\hat{EKH}=\hat{IKM}`

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{IKM}+\hat{HKM}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{EKH}+\hat{HKM}=180°`

`=>\hat{EKM}=180°`

`=>M;E;K` thẳng hàng