Đáp án:

a) Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt $AC$ tại $D$

$\Rightarrow BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBE}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\,\rm(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta EBD$ (ch-gn).

b) $DK=DF\Rightarrow D$ là trung điểm của $KF$

$\Rightarrow CD$ là đường trung tuyến của $\Delta CKF$.
$CI=2DI\Rightarrow CI=\dfrac23 CD$ và $I\in CD$ (đường trung tuyến)
$\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\Delta CKF$

$\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}AB=BE\\AD=DE\end{array}\right.$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ADF$ và $\Delta DEC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{DAF}=\widehat{DEC}=90^\circ\\AD=DE\,\rm(cmt)\\\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\,\rm(đ^2)\end{array}\right\}\Delta ADF=\Delta DEC$ (g-c-g)

$\Rightarrow AF=EC$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB=BE$ nên $AF+AB=EC+BE$

$\Rightarrow BF=BC\Rightarrow\Delta BCF$ cân tại $B$

$\Delta BCF$ có đường phân giác $BD$

$\Rightarrow BD$ là đường trung tuyến của $\Delta BCF$

$\Rightarrow BD$ đi qua trung điểm của $CF$

Mà $BD\cap CF=H\Rightarrow H$ là trung điểm của $CF$.

$\Rightarrow KH$ là đường trung tuyến của $\Delta KCF$

$\Rightarrow KH$ đi qua trọng tâm $I$

$\Rightarrow I\in KH\Rightarrow K,H,I$ thẳng hàng.

`a)` Xét $\triangle$ $ABD$ và $\triangle$ $EBD$ ta có $:$

$\widehat{BAD}$ $=$ $\widehat{BED}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; DE$ $\bot$ $BC )$

$BD$ chung

$\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{B2}$ $($ vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD ( ch - gn )$

`b) @` Xét $\triangle$ $ADF$ và $\triangle$ $EDC$ ta có $:$

$\widehat{FAD}$ $=$ $\widehat{CED}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; DE$ $\bot$ $BC )$

$AD = DE ($ vì $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD )$

$\widehat{ADF}$ $=$ $\widehat{EDC}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`=>` $\triangle$ $ADF$ $=$ $\triangle$ $EDC ( cgv - gnk )$

`=> AF = EC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`@` Mà `AB = BE (` vì $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $EBD )$

`=> BF = BC`

`@` Xét $\triangle$ $BHF$ và $\triangle$ $BHC$ ta có $:$

$BF = BC ( gt )$

$\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{B2} ( cmt )$

$BH$ chung

`=>` $\triangle$ $BHF$ $=$ $\triangle$ $BHC ( c - g - c )$

`@ => HF = HC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`=> H` là trung điểm của $FC$

`=> KH` là trung tuyến của $\triangle$ $KFC (1)$

`@` Vì $D$ là trung điểm của $FK ( DF = DK )$

`=> CD` là trung tuyến của $\triangle$ $KFC$ 

Mà `CI = 2/3CD ( CI = 2DI )`

`=> I` là trọng tâm $\triangle$ $KFC (2)$

Từ $(1) ; (2)$
`=> \overline{K ; H ; I}`