Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BDA, \Delta BAC4 có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDA}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to\Delta BDA\sim\Delta BAC(g.g)$

Xét $\Delta ABK,\Delta DBI$ có:

$\widehat{ABK}=\widehat{IBD}$ vì $BK$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\widehat{BAK}=\widehat{BDI}(=90^o)$

$\to\Delta BAK\sim\Delta BDI(g.g)$

b.Ta có $BK$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BA}{BC}

c.Vì $BK$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to \dfrac{KA}{KA+KC}=\dfrac{BA}{BA+BC}$

$\to \dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AB}{AB+BC}$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$

(Xem lại đề)

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A\to \hat B+\hat C=90^o$

Do $\hat B=2\hat C$

$\to 2\hat C+\hat C=90^o\to 3\hat C=90^o\to \hat C=30^o$

$\to \widehat{DAC}=90^o-\hat C=60^o\to \widehat{IAK}=60^o$

$\to\Delta AIK$ đều

d.Ta có $\Delta BAD\sim\Delta BCA$(câu a)

$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{BA}$

Mà $BK, BI$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{KA}{KC}$

$\to ID.KC=IA.KA$