a)

$AB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{ABO}=90{}^\circ $

Tứ giác $ABOI$ có:

$\widehat{ABO}=\widehat{AIO}=90{}^\circ $

$\to ABOI$ là tứ giác nội tiếp

b)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADB$, có:

$\widehat{BAD}$ là góc chung

$\widehat{ABC}=\widehat{ADB}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

$\to \Delta ABC\backsim\Delta ADB\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$

$\to A{{B}^{2}}=AC.AD$

$ON$ vuông góc với dây cung $CD$

$\to N$ là điểm chính giữa cung $CD$

$\to \overset\frown{NC}=\overset\frown{ND}$

$\widehat{AMB}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn

$\to \widehat{AMB}=\dfrac{1}{2}\left( sd\,\overset\frown{BC}+sd\,\overset\frown{ND} \right)$

$\to \widehat{AMB}=\dfrac{1}{2}\left( sd\,\overset\frown{BC}+sd\,\overset\frown{NC} \right)$

$\to \widehat{AMB}=\dfrac{1}{2}sd\,\overset\frown{BN}$

Mà $\widehat{ABM}=\dfrac{1}{2}sd\,\overset\frown{BN}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

$\to \widehat{AMB}=\widehat{ABM}$

$\to \Delta ABM$ cân tại $A$

$\to AB=AM$

Mà $A{{B}^{2}}=AC.AD$

Nên $A{{M}^{2}}=AC.AD$

c)

$N$ là điểm chính giữa $\overset\frown{CD}$

$\to \overset\frown{NC}=\overset\frown{ND}$

$\to \widehat{CBN}=\widehat{DBN}$

$\to BN$ là tia phân giác $\widehat{CBD}$

$\to BM$ là tia phân giác $\widehat{CBD}$