Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$

$ \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4} \to \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AC}{4} \to \dfrac{AB^2}{9} = \dfrac{AC^2}{16}$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên theo Pitago ta có

$ AB^2 +AC^2 = BC^2 = ( BD+DC)^2 = (9+12)^2 = 21^2 =441$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$ \dfrac{AB^2}{9} = \dfrac{AC^2}{16} = \dfrac{AB^2 + AC^2}{9+16} = \dfrac{441}{25} = 17,64$

$ \to \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AC}{4} = \sqrt{17,64} =4,2$

$ \to AB = 4,2 . 3 =12,6 cm ; AC = 4,2 . 4 =16,8 cm$

Xét hai tam giác $ \Delta ABH$ và $ \Delta CBA$ ta có

$ \widehat{AHB} = \widehat{BAC} = 90^0$

$ \widehat{BAH}  = \widehat{ACB}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\to \Delta ABH \backsim \Delta CBA$ (g.g)

$ \to \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AC}{BC}  \to \dfrac{AH}{12,6} = \dfrac{16,8}{21}$

$\to AH = \dfrac{16,8.12,6}{21} = 10,08$cm

Áp dụng định lí Pitago vào $\Delta AHB$ vuông tại $H$

$ AH^2 + BH^2 = AB^2 \to BH^2 = AB^2 - AH^2 = 12,6^2 - 10,08^2 =57,1536 \to BH =7,56cm $

Ta có $ DH = BD - BH = 9 - 7,56 =1,44 cm$