Giải thích các bước giải:

$a)$

Với $m=2$ thì phương trình $(1)$ trở thành:

$2^2.x+4.2-3=2^2+x$

$\Leftrightarrow 4x+5=4+x$

$\Leftrightarrow 4x-x=4-5$

$\Leftrightarrow 3x=-1$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac13$

Vậy với $m=2$ thì $S=\{-\dfrac13\}$

$b)$

Biến đổi phương trình $(1)$ thành:

$m^2x-x=m^2-4m+3$

$\Leftrightarrow (m^2-1)x=(m^2-3m)-(m-3)$

$\Leftrightarrow (m-1)(m+1)x=m(m-3)-(m-3)$

$\Leftrightarrow (m-1)(m+1)x=(m-1)(m-3)$

Với $m-1=0\Leftrightarrow $ thì phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow $ Loại

Với $m-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq 1$ thì phương trình

$\Leftrightarrow (m+1)x=m-3$

Với $m+1=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm $\Rightarrow $ Loại

Với $m+1\neq 0\Leftrightarrow m\neq -1$ thì phương trình

$\Leftrightarrow x=\dfrac{m-3}{m+1}$

Vậy phương trình có $1$ nghiệm duy nhất là $x=\dfrac{m-3}{m+1}$ với $m\neq \pm 1$

$c)$

Để phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất là số nguyên thì

$\dfrac{m-3}{m+1}$ là số nguyên

$\Rightarrow m-3\vdots m+1$

$\Rightarrow m-3-(m+1)\vdots m+1$

$\Rightarrow -4\vdots m+1$

$\Rightarrow m+1\in Ư(-4)$

$\Rightarrow m+1\in \{1;-1;2;-2;4;-4\}$

$\Rightarrow m\in \{0;-2;1;-3;3;-5\}$

Vậy $m\in \{0;-2;1;-3;3;-5\}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài