`c)` Ta có $: AC$ $\cap$ $BD =$ `{O}`

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông $( gt )$

`=> O` là trung điểm của $AC ; BD ($ tính chất $)$

Xét $\triangle$ $ABD$ ta có $:$

$DM$ $\cap$ $CA =$ `{I}`

$DM$ $\cap$ $OA =$ `{I}`

`=> I` là trọng tâm của $\triangle$ $ABD$ 

`=>` $\begin{cases} AI=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{1}{3}.2AO=\dfrac{1}{3}AC\\CI=AC-AI=\dfrac{2}{3}AC\\S_{DIC}=\dfrac{2}{3}S_{ACD}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AD.DC=\dfrac{1}{3}.AD.CD=\dfrac{64}{3} \end{cases}$

Ta có $: I$ là trọng tâm của $\triangle$ $ABD ( cmt )$

`=> ID = 2/3DM (` tính chất trọng tâm $)$

`=> MI = 1/3MD`

`=>` $S_{AIM}$ `= 1/3` $S_{ADM}$

Hay $S_{AIM}$ `= 1/3 . 1/2 DA . AM`

`=>` $S_{AIM}$ `= 1/6 . 8 . 4 = 16/3`

Vậy $S_{AIM}$ `= 16/3`

Giải thích các bước giải:

a.Gọi cạnh hình vuông $ABCD$ là $a, a>0$

Vì diện tích hình vuông  $ABCD$ là $64cm$

$\to a^2=64$

$\to a=8$

$\to$Độ dài cạnh hình vuông bằng $8cm$

b.Vì $MA=MB\to M$ là trung điểm $AB\to MA=MB=\dfrac12AB=4$

$\to S_{MAD}=\dfrac12AM\cdot AD=16, S_{MBC}=\dfrac12MB\cdot BC=16$

$\to S_{CMD}=S_{ABCD}-S_{AMD}-S_{MBC}=64-16-16=32$

      $S_{AMCD}=S_{ABCD}-S_{MBC}=48$

c.Gọi $AC\cap BD=O$ 

Vì $ABCD$ là hình vuông $\to O$ là tâm hình vuông

$\to O$ là trung điểm $AC, O$ là trung điểm $BD$

Mà $DM\cap AC=I\to DM\cap AO=I\to I$ là trọng tâm $\Delta ABD$

$\to AI=\dfrac23AO=\dfrac13\cdot 2AO=\dfrac13AC$

$\to CI=AC-AI=\dfrac23AC$

$\to S_{DIC}=\dfrac23S_{ACD}=\dfrac23\cdot \dfrac12AD\cdot DC=\dfrac13\cdot AD\cdot CD=\dfrac{64}3$

Vì $I$ là trọng tâm $\Delta ABD$

$\to IM=\dfrac13DM$

$\to S_{AIM}=\dfrac13S_{ADM}=\dfrac13\cdot \dfrac12AD\cdot AM=\dfrac16\cdot 8\cdot 4=\dfrac{16}3$