Đáp án:

 a)$a=1$

b)Hình

c)$(3;9) $ và $(-1;1)$

d)$6(đvdt)$

Giải thích các bước giải:

 a) Để parabol $(P)$ đi qua điểm $A(-1;1)$ thì thay $x=-1;y=1$ vào $(P)$ ta có :

$1=a(-1)^2$

$\to a=1$

Vậy với $a=1$ thì $(P)$ đi qua parabol $(P)$

b)Vẽ đồ thị parabol $y=x^2$

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\\hline y=x^2&4&1&0&1&4\\\hline\end{array}$

Đồ thị parabol : Như hình 

c)Gọi phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P):x^2$ và đường thẳng $(d):2x+3$ là:

$x^2=2x+3$

$\Leftrightarrow x^2-2x-3=0$

$\Leftrightarrow x^2+x-3x-3=0$

$\Leftrightarrow x(x+1)-3(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-3).(x+1)=0$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.$

Với $x=3$ thì $y=2.3+3=9$ 

Vậy tọa độ giao điểm thứ nhất là $(3;9)$

Với $x=-1$ thì $y=2.(-1)+3=1$

Vậy tọa độ giao điểm thư hai là $(-1;1)$

Vậy tọa độ giao điểm của parabol $(P):x^2$ và đường thẳng $(d):2x+3$ là $(3;9)$ và $(-1;1)$
d)Do giao điểm của parabol $(P)$ và $(d)$ là hai điểm A, B  nên tọa độ hai điểm đó là $A(-1;1)$ và $(3;9)$:

Lấy các điểm trên như hình

Ta có :

$S_{OAG}=\dfrac{1}{2}.AC.OG=\dfrac{1}{2}.1.3=\dfrac{3}{2}$

$S_{BFO}=\dfrac{1}{2}.FB.FO=\dfrac{1}{2}.9.3=\dfrac{27}{2}$

$S_{BFG}=\dfrac{1}{2}.6.3=9$

Mà $S_{BGO}=S_{BFO}-S_{BFG}=\dfrac{9}{2}$

Vậy $S_{OAB}=S_{OAG}+S_{BFG}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{2}=6(đvdt)$

Giải thích các bước giải:

a) Ta có

Parabol $(P)$ đi qua điểm $A(-1;1)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow a.{\left( { - 1} \right)^2} = 1\\
 \Leftrightarrow a = 1
\end{array}$

b) Đồ thị hàm $y=x^2$ có:

+) Đỉnh: $(0;0)$

+) Trục đối xứng: $x=0$

+) Đi qua các điểm: $(0;0),(-1;1),(1;1),(-2;4),(2;4)$

c) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right):y = {x^2}$ và $\left( d \right):y = 2x + 3$ là:

$\begin{array}{l}
{x^2} = 2x + 3\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 3
\end{array} \right.
\end{array}$

+) Khi $x =  - 1 \Rightarrow y = 1$ 

$\to $ Giao điểm $A\left( { - 1;1} \right)$

+) Khi $x = 3 \Rightarrow y = 9$

$\to $ Giao điểm $B\left( {3;9} \right)$

d) Ta có

$\begin{array}{l}
OA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \\
OB = \sqrt {{3^2} + {9^2}}  = 3\sqrt {10} \\
AB = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {9 - 1} \right)}^2}}  = 4\sqrt 5 \\
 \Rightarrow p = \dfrac{{OA + OB + AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2  + 3\sqrt {10}  + 4\sqrt 5 }}{2}\\
 \Rightarrow {S_{OAB}} = \sqrt {p\left( {p - OA} \right)\left( {p - OB} \right)\left( {p - AB} \right)}  = 6
\end{array}$

Vậy ${S_{OAB}} = 6$