Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(O)\to AB, AC, BC$ là tiếp tuyến của $(O)$

        $AB, AC$ tiếp xúc $(O)$ tại $D, E$

 $\to OD\perp DA, OE\perp EA$

$\to \widehat{ADO}=\widehat{AEO}=90^o$

$\to ADOE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Ta có: $O$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC\to O$ là giao ba đường phân giác $\Delta ABC$

Do $\Delta ABC$ đều $\to O$ đồng thời là ba đường cao, đường trung trực, trung tuyến $\Delta ABC$

$\to BO\perp AC, CO\perp AB$

Mà $OD\perp AB,OE\perp AC$

$\to C, O, D$ thẳng hàng và $B, O, E$ thẳng hàng

$\to \widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o$

$\to BDEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Ta có: $OA\cap BC=I\to I$ là trung điểm $BC$

$\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $BDEC$

c.Ta có: $ADOE$ nội tiếp $\to \widehat{DOE}=180^o-\hat A=120^o$

$\to$Độ dài cung nhỏ $DE$ là:

$l=\dfrac{120^o}{360^o}\cdot 2\pi R$

$\to l=\dfrac23\pi R$

d.Ta có: $AO$ là phân giác $\hat A\to \widehat{DAO}=\dfrac12\widehat{DAE}=30^o$

$\to \tan\widehat{DAO}=\dfrac{OD}{AD}$

$\to AD=\dfrac{OD}{\tan\widehat{DAO}}=\dfrac{R}{\tan30^o}=R\sqrt3$

$\to S_{ADOE}=2S_{ADO}=AD\cdot DO=R^2\sqrt3$

Diện tích cung $DE$ là:

$$s=\dfrac{120^o}{360^o}\cdot \pi R^2=\dfrac13\pi R^2$$

$\to$Diện tích hình giới hạn bởi đoạn thẳng $AD, AE$ và cung nhỏ $DE$ là:

$$R^2\sqrt3-\dfrac13\pi R^2$$