a)

$ABEC$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{DAB}=\widehat{DCE}$ ( cùng chắn $\overset\frown{BE}$ )

Xét $\Delta DAB$ và $\Delta DCE$, ta có:

$\widehat{ADB}=\widehat{CDE}=90{}^\circ $

$\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta DAB\sim\Delta DCE\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}$

$\to DA.DE=DB.DC$

b)

$\Delta AEK$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AK$ là đường kính

$\to \widehat{AEK}=90{}^\circ $

$\to AE\bot EK$

Mà $AE\bot BC\,\,\,\left( gt \right)$

$\to EK\,\,||\,\,BC$

$\to BCKE$ là hình thang

Mà 4 điểm $B,C,K,E\,\,\in \,\,\left( O \right)$

Nên $BCKE$ là hình thang cân

( hình thang nội tiếp được đường tròn thì hình thang đó sẽ trở thành hình thang cân )

c)

$\Delta ABK$ và $\Delta ACK$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AK$ là đường kính

$\to \widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90{}^\circ $

$\to\begin{cases}KB\bot AB\\KC\bot AC\end{cases}$

$H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to\begin{cases}CH\bot AB\\BH\bot AC\end{cases}$

$\to\begin{cases}KB\,\,||\,\,CH\\KC\,\,||\,\,BH\end{cases}$

$\to BHCK$ là hình bình hành

Có $M$ là trung điểm $BC$

Nên $M$ cũng là trung điểm $HK$

$\to MH=MK$

$\to $$H$ đối xứng với $K$ qua $M$