Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Bài 4,

a, Vì ΔABC cân tại A => AB = AC, ∠ABC = ∠ACB

Vì AD là tia phân giác của ∠BAC => ∠BAD = ∠DAC

Xét ΔABD và ΔACD có :

AB = AC, AD chung, ∠BAD = ∠DAC

Do đó ΔABD = ΔACD ( c - g - c )

=> BD = CD ( tương ứng )

Có BD = CD => D thuộc đường trung trực của BC ( t/c điểm thuộc đường trung trực )

Có AB = AC => A thuộc đường trung trực của BC ( t/c điểm thuộc đường trung trực )

Do đó AD là đường trung trực của BC ( đpcm )

Vậy AD là đường trung trực của BC.

b, Vì ΔABD = ΔACD ( câu a ) => ∠ADB = ADC ( tương ứng )

hay ∠ADE = ∠ADF

Có BD + BE = DE , DC + CF = DF mà BD = CD ( câu a ), BE = CF 

=> DE = DF

Xét ΔADE và ΔADF có :

AD chung, DE = DF ( cmt ), ∠ADE = ∠ADF ( cmt )

Do đó ΔADE = ΔADF ( c - g - c )

=> AE = AF ( tương ứng )

=> ΔAEF cân tại A 

Vậy ΔAEF cân tại A.

c, Vì ΔADE = ΔADF ( câu b ) => ∠EAD = ∠FAD ( tương ứng )

Mà AD nằm giữa hai cạnh AE và AF 

Do đó AD là tia phân giác của ∠EAF

Vậy AD là tia phân giác của ∠EAF

Bài 5, 

a, ΔABC có I là trung điểm của BC, d là đường trung trực của BC 

=> AI ⊥ BC 

=> ∠AIB = ∠AIC = 90 độ

Vì I là trung điểm của BC => IB = IC

Xét ΔAIB và ΔAIC có :

IB = IC, ∠AIB = ∠AIC , IA chung

Do đó ΔAIB = ΔAIC ( c - g - c )

=> ∠ABI = ∠ACI ( tương ứng )

Hay ∠ABC = ∠ACB 

Vậy ∠ABC = ∠ACB 

b, Có ΔAIB = ΔAIC ( câu a ) => AB = AC ( tương ứng )

Có ∠B1 + ∠B2 = 180 độ, ∠C1 + ∠C2 = 180 độ

Mà ∠B2 = ∠C1 ( câu a )

=> ∠B1 = ∠C2

Xét ΔBCK và ΔCMA có :

BC = CM , AC = KB ( = AB ), ∠B1 = ∠C2

Do đó ΔBCK = ΔCMA ( c - g - c )

=> KC = MA ( tương ứng )

Vậy KC = MA

c, Có ∠APC là góc ngoài của ΔAPK tại đỉnh K

=> ∠APC = ∠PAK + ∠AKP

Có ΔAIB = ΔAIC ( câu a )

=> ∠IAB = ∠CAI

=> ∠PAK = ∠CAI

Có ΔBCK = ΔCMA ( câu b )

=> ∠AKP = ∠CAM

Do đó ∠APC = ∠CAI + ∠CAM

Hay ∠APC = ∠MAI 

Vậy ∠APC = ∠MAI