a)

Tứ giác $BCEF$ có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

$\to BCEF$ nội tiếp

b)

Vẽ tiếp tuyến $xAy\to OA\bot xy$

Ta có $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$

$\to \widehat{xAB}=\widehat{AFE}$

$\to xy//EF$

$\to OA\bot EF$

c)

$\Delta ABC$ có hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\to AH\bot BC$ tại $D$

Ta có $\widehat{HBD}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Mà $\widehat{MBD}=\widehat{HAC}$ (cùng chắn cung $CM$)

$\to \widehat{HBD}=\widehat{MBD}$

$\to BD$ là phân giác $\Delta BMH$

$\to \Delta BMH$ cân tại $B$

$\to HD=MD$

Vậy$\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AD+MD}{AD}=1+\dfrac{HD}{AD}$

Tương tự: $\dfrac{BN}{BE}=1+\dfrac{HE}{BE}$ và $\dfrac{CP}{CF}=1+\dfrac{HF}{CF}$

$\to \dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}=3+\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}$

Ta có ${{S}_{\Delta HBC}}=\dfrac{1}{2}HD.BC$ và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AD.BC$

$\to \dfrac{HD}{AD}=\dfrac{{{S}_{\Delta HBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$

Tương tự: $\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{{{S}_{\Delta HAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$ và $\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{{{S}_{\Delta HAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$

$\to \dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{{{S}_{\Delta HBC}}+{{S}_{\Delta HAB}}+{{S}_{\Delta HAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=1$

Vậy $\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}=3+1=4$