$\text{a, BE⊥AC (gt)⇒ $\widehat{BEA}= \widehat{BEC}=90°$}$

$\text{CF⊥AB (gt)⇒ $\widehat{CFA}= \widehat{CFB}=90°$}$

$\text{Có $\widehat{BEC}= \widehat{CFB}=90°$ (cmt)}$

$\text{⇒ Hai điểm E và F cùng nhìn BC dưới một góc vuông}$

$\text{⇒ Hai điểm E và F cùng thuộc đường tròn đường kính BC}$

$\text{⇒ Bốn điểm E, B, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC}$

$\text{⇒ Tâm M của đường tròn đó là trung điểm của BC}$

$\text{b, N đối xứng H qua M (gt)}$

$\text{⇒ M là trung điểm của NH}$

$\text{Xét tứ giác BHCN có:}$

$\text{M là trung điểm của NH (cmt)}$

$\text{M là trung điểm của BC (cmt)}$

$\text{BC cắt NH tại M}$

$\text{⇒Tứ giác BHCN là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)}$

$\text{⇒ CN//BH, BN//CH}$

$\text{Có CN//BH (cmt)}$

$\text{Mà BH⊥AC (Vì BE⊥AC)}$

$\text{⇒ CN⊥AC}$

$\text{⇒ $\widehat{ACN}=90°$}$

$\text{Có BN//CH (cmt)}$

$\text{Mà CH⊥AB (Vì CF⊥AB)}$

$\text{⇒ BN⊥AB}$

$\text{⇒ $\widehat{ABN}=90°$}$

$\text{Xét tứ giác ABNC có:}$

$\text{$\widehat{ABN}+\widehat{ACN}=90°+90°=180°$}$

$\text{⇒ Tứ giác ABNC là từ giác nội tiếp}$

$\text{Mà ba điểm A,B,C ∈(O) (ΔABC nội tiếp (O)}$

$\text{⇒ N ∈(O)}$

$\text{Mà $\widehat{ABN}=90°$ (cmt)}$

$\text{⇒ AN là đường kính của (O)}$