Giải thích các bước giải:

a) Xét đường `(O)` đường kính `AC` có:

`\hat{AKC}` là có nội tiếp chắn nửa đường tròn

`=>\hat{AKC}=90^0 => AK⊥BC`

Xét tứ giác `BKHA` có:

`\hat{BKA}=90^0 (AK⊥BC)`

`\hat{BHA}=90^0 (AD⊥BO)`

`=> \hat{BKA}=\hat{BHA}`

`=>` tứ giác `BKHA` nội tiếp

`=> \hat{BHK}=\hat{BAK}` (cùng chắn cung `BK)`

mà `\hat{BAK}=\hat{BCA}` (góc nt và góc tạo bới tt và dây cung cùng chắn cung `AK`)

`=> \hat{BHK}=\hat{BCA}`

b) `ΔAOD` có: `OA=OD` (cùng bằng bán kính)

`=> ΔOAD` cân tại `O`

lại có `OB⊥AD => OB` là đường trung trực của `AD`

`=> AB=BD`

Xét `ΔOAB` và `ΔODB` có:

`OA=OD; AB=BD; OB`: cạnh chung

`=> ΔOAB=ΔODB` (c.c.c) `=> \hat{OAB}=\hat{ODB}`

mà `\hat{OAB}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A)`

`=> \hat{ODB}=90^0 => OD⊥BD`

`=> BD` là tiếp tuyến của `(O)`

`\hat{BHK}=\hat{BCA} => \hat{BHK}=\hat{KCO}`  (1)

Xét tứ giác `OHKC` có:

`\hat{BHK}=\hat{KCO}`

`=> OHKC` là tứ giác nội tiếp

`=> \hat{OHC}=\hat{OKC}` (cùng chắn cung `OC`) (2)

`ΔOKC` có `OK=OC` (cùng bằng bán kính)

`=> ΔOKC` cân tại `O => \hat{OKC}=\hat{KCO}`  (3)

Từ (1) (2) (3)`=> \hat{BHK}=\hat{OHC} `

mà `\hat{DHK}=\hat{DHB}-\hat{BHK}=90^0-\hat{BHK}`

      `\hat{DHC}=\hat{DHO}-\hat{OHC}=90^0-\hat{OHC}`

 `=> \hat{DHK}=\hat{DHC}`

`=> DH` là tia phân giác của `\hat{KHC}`

c) $OE//AD$ `=> OE⊥OB` 

Xét `ΔBAO` và `ΔOAE` có:

`\hat{BAO}=\hat{OAE}=90^0`

`\hat{AOE}=\hat{ABO}` (cùng phụ với `\hat{AEO})`

`=>` $ΔBAO\backsimΔOAE$ (g.g)

`=> \frac{AB}{AO}=\frac{AO}{AE} => AB.AE=AO^2`  (4)

Xét `ΔABM` và `ΔACE` có:

`\hat{BAM}=\hat{CAE}=90^0 `

`\hat{ABM}=\hat{ACE}` (cùng phụ với `\hat{AEC}`)

`=>` $ΔABM\backsimΔACE$(g.g)

`=> \frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AE}`

`=> AB.AE=AC.AM`  (5)

Từ(4)(5) `=> AO^2=AC.AM `

mà `AC=2AO => AO^2=2AO.AM`

`=> AO=2AM`

`=> M` là trung điểm của `OA`